Công cụ này dùng để làm gì
Công cụ này giúp bạn cộng hoặc trừ hai phân số và trả về kết quả ở dạng phân số tối giản (đã rút gọn) cùng với giá trị thập phân tương ứng. Bạn chỉ cần nhập tử số và mẫu số của từng phân số, chọn phép cộng hay phép trừ, máy sẽ tự động quy đồng mẫu số và rút gọn kết quả giúp bạn.
Cách sử dụng
Nhập tử số và mẫu số của phân số thứ nhất, chọn phép tính (cộng hoặc trừ), rồi nhập phân số thứ hai. Máy tính sẽ tính ra một phân số gộp duy nhất và rút gọn nó. Tử số âm và phân số không thực sự (tử số lớn hơn mẫu số) đều được hỗ trợ đầy đủ.
Giải thích công thức
Để gộp hai phân số, ta đưa chúng về cùng một mẫu số chung. Mẫu số chung đơn giản nhất chính là tích của hai mẫu số, \(b \cdot d\). Khi đó \(a/b\) trở thành \((a \cdot d)/(b \cdot d)\) và \(c/d\) trở thành \((c \cdot b)/(b \cdot d)\). Lúc này cả hai phân số có cùng mẫu số, nên ta chỉ việc cộng hoặc trừ hai tử số với nhau:
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$
Cuối cùng, kết quả được rút gọn bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất (ƯCLN), tìm được nhờ thuật toán Euclid.
$$\frac{n}{m} = \frac{n / \gcd(n,m)}{m / \gcd(n,m)}$$
Ví dụ minh họa
Cộng \(1/2 + 1/3\). Áp dụng công thức:
$$\frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$$
ƯCLN của 5 và 6 là 1, nên \(5/6\) đã ở dạng tối giản. Đổi sang số thập phân thì xấp xỉ \(0{,}8333\).
Ví dụ về phép trừ:
$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2} = \frac{6 - 4}{8} = \frac{2}{8}$$
rút gọn còn \(1/4\) sau khi chia cho ƯCLN là 2.
Định nghĩa & Bảng chú giải
Hiểu biết từ vựng về phân số làm cho việc cộng và trừ chúng rõ ràng hơn nhiều. Các thuật ngữ dưới đây mô tả từng phần của một phân số và các bước mà công cụ này sử dụng để tạo ra một câu trả lời đã rút gọn.
- Tử số — con số ở phía trên của một phân số. Nó đếm có bao nhiêu phần bằng nhau bạn có. Trong \(\frac{3}{4}\), tử số là 3.
- Mẫu số — con số ở phía dưới của một phân số. Nó cho biết có bao nhiêu phần bằng nhau tạo thành một phần nguyên. Trong \(\frac{3}{4}\), mẫu số là 4. Mẫu số không bao giờ được bằng 0.
- Phân số thực sự — một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số của nó, vì vậy giá trị của nó nhỏ hơn 1 (ví dụ \(\frac{2}{5}\)).
- Phân số không thực sự — một phân số có tử số bằng hoặc lớn hơn mẫu số của nó, vì vậy giá trị của nó bằng 1 hoặc lớn hơn (ví dụ \(\frac{7}{4}\)). Tổng của hai phân số thường không thực sự.
- Mẫu số chung — một mẫu số duy nhất được chia sẻ bởi hai hoặc nhiều phân số. Bạn chỉ có thể cộng hoặc trừ phân số khi chúng chia sẻ một. Công cụ này sử dụng tích của hai mẫu số, \(b\cdot d\), như một mẫu số chung được đảm bảo; kết quả sau đó được rút gọn.
- Rút gọn tối giản (dạng đơn giản nhất) — một phân số trong đó tử số và mẫu số không chia sẻ bất kỳ thừa số chung nào khác ngoài 1, chẳng hạn như \(\frac{2}{4}\) rút gọn thành \(\frac{1}{2}\).
- ƯCLN (Ước chung lớn nhất) — số nguyên dương lớn nhất chia hết cả tử số và mẫu số. Chia cả hai cho ƯCLN của chúng để rút gọn một phân số. ƯCLN còn được gọi là GCF hoặc HCF.
- Thuật toán Euclid — một phương pháp hiệu quả để tìm ƯCLN của hai số bằng cách lặp lại phép tính dư. Thay thế số lớn hơn bằng dư của phép chia hai số; lặp lại cho đến khi dư là 0. Dư khác không cuối cùng là ƯCLN. Ví dụ, \(\gcd(8,12)\): \(12 \bmod 8 = 4\), sau đó \(8 \bmod 4 = 0\), vì vậy ƯCLN là 4. Công cụ này chạy thuật toán này để đơn giản hóa mọi kết quả.
Bảng tham chiếu về Phân số-Số thập phân thông dụng
Giá trị thập phân của một phân số đơn giản là tử số của nó chia cho mẫu số của nó. Bảng dưới đây liệt kê các phân số được sử dụng thường xuyên nhất với các giá trị thập phân tương đương. Một thanh trên một chữ số (hoặc ghi chú "lặp lại") biểu thị số thập phân lặp lại mãi mãi.
| Phân số | Số thập phân | Ghi chú |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | 0.5 | Chính xác |
| \(\frac{1}{3}\) | 0.3333… | Lặp lại (0.3̅) |
| \(\frac{2}{3}\) | 0.6667… | Lặp lại (0.6̅) |
| \(\frac{1}{4}\) | 0.25 | Chính xác |
| \(\frac{3}{4}\) | 0.75 | Chính xác |
| \(\frac{1}{5}\) | 0.2 | Chính xác |
| \(\frac{2}{5}\) | 0.4 | Chính xác |
| \(\frac{3}{5}\) | 0.6 | Chính xác |
| \(\frac{4}{5}\) | 0.8 | Chính xác |
| \(\frac{1}{6}\) | 0.1667… | Lặp lại (0.16̅) |
| \(\frac{5}{6}\) | 0.8333… | Lặp lại (0.83̅) |
| \(\frac{1}{8}\) | 0.125 | Chính xác |
| \(\frac{3}{8}\) | 0.375 | Chính xác |
| \(\frac{5}{8}\) | 0.625 | Chính xác |
| \(\frac{7}{8}\) | 0.875 | Chính xác |
| \(\frac{1}{9}\) | 0.1111… | Lặp lại (0.1̅) |
| \(\frac{1}{10}\) | 0.1 | Chính xác |
| \(\frac{1}{16}\) | 0.0625 | Chính xác |
Như một phép kiểm tra được thực hiện, cộng \(\frac{1}{4}\) và \(\frac{1}{8}\): mẫu số chung là 8, cho \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=\) 0.375, khớp với bảng.
Câu hỏi thường gặp
Hai mẫu số có bắt buộc phải giống nhau không? Không. Máy tính tự động tìm mẫu số chung, nên bạn có thể gộp trực tiếp các phân số như \(2/5\) và \(7/8\).
Kết quả có được rút gọn không? Có. Mọi kết quả đều được rút gọn về dạng tối giản nhờ ước chung lớn nhất.
Tôi có thể dùng số âm không? Có. Bạn cứ nhập tử số (hoặc mẫu số) âm, máy tính sẽ giữ nguyên dấu và trả về mẫu số dương trong kết quả đã rút gọn.
