ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة جمع كسرين أو طرحهما، وتعرض النتيجة ككسر مبسّط بالكامل (مختزل إلى أبسط صورة) مع مكافئه العشري. كل ما عليك هو إدخال البسط والمقام لكل كسر، واختيار عملية الجمع أو الطرح، وتتولّى الحاسبة إيجاد المقام المشترك واختزال الناتج نيابة عنك.
طريقة الاستخدام
أدخل بسط الكسر الأول ومقامه، ثم اختر العملية المطلوبة (جمع أو طرح)، وبعدها أدخل الكسر الثاني. تقوم الحاسبة بحساب كسر واحد مدمج وتبسيطه تلقائيًا. كما أنها تدعم البسط السالب والكسور غير الحقيقية (التي يكون فيها البسط أكبر من المقام) دعمًا كاملًا.
شرح المعادلة
لجمع كسرين معًا نضعهما على مقام مشترك. وأبسط مقام مشترك هو حاصل ضرب المقامين، أي \(b \cdot d\). وبذلك يتحوّل الكسر \(a/b\) إلى \(\frac{a \cdot d}{b \cdot d}\)، ويتحوّل الكسر \(c/d\) إلى \(\frac{c \cdot b}{b \cdot d}\). والآن أصبح للكسرين المقام نفسه، فنكتفي بجمع البسطين أو طرحهما:
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$وأخيرًا يُختزل الناتج بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCD) الذي يُحسب عبر خوارزمية إقليدس.
$$\frac{n}{m} = \frac{n / \gcd(n,m)}{m / \gcd(n,m)}$$
مثال محلول
لنجمع \(1/2 + 1/3\). بتطبيق المعادلة:
$$\frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$$والقاسم المشترك الأكبر للعددين 5 و6 هو 1، أي أن الكسر \(5/6\) في أبسط صوره أصلًا. وبالصيغة العشرية يساوي تقريبًا \(0.8333\).
مثال على الطرح:
$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2} = \frac{6 - 4}{8} = \frac{2}{8}$$ويُختزل إلى \(1/4\) بعد القسمة على القاسم المشترك الأكبر 2.
التعريفات والمصطلحات
فهم مفردات الكسور يجعل جمع وطرح الكسور أوضح بكثير. تصف المصطلحات أدناه كل جزء من الكسر والخطوات التي تستخدمها هذه الآلة الحاسبة لإنتاج إجابة مختزلة.
- البسط — الرقم العلوي للكسر. يحسب عدد الأجزاء المتساوية التي لديك. في \(\frac{3}{4}\)، البسط هو 3.
- المقام — الرقم السفلي للكسر. يخبرك بعدد الأجزاء المتساوية التي تشكل واحدًا صحيحًا. في \(\frac{3}{4}\)، المقام هو 4. لا يمكن أن يكون المقام مساويًا للصفر.
- الكسر الفعلي — كسر بسطه أصغر من مقامه، لذا قيمته أقل من 1 (على سبيل المثال \(\frac{2}{5}\)).
- الكسر غير الفعلي — كسر بسطه مساوٍ لمقامه أو أكبر من مقامه، لذا قيمته تساوي 1 أو أكبر من 1 (على سبيل المثال \(\frac{7}{4}\)). مجاميع كسرين غالبًا ما تكون غير فعلية.
- المقام المشترك — مقام واحد مشترك بين كسرين أو أكثر. لا يمكنك جمع أو طرح الكسور إلا بعد أن تشترك في واحد. تستخدم هذه الأداة حاصل ضرب المقامين \(b\cdot d\) كمقام مشترك مضمون؛ يتم بعد ذلك اختزال النتيجة.
- الحدود الدنيا (الصيغة الأبسط) — كسر لا يشترك بسطه ومقامه في أي عامل مشترك غير 1، مثل اختزال \(\frac{2}{4}\) إلى \(\frac{1}{2}\).
- القاسم المشترك الأكبر — أكبر عدد صحيح يقسم البسط والمقام بالضبط. قسمة كليهما على القاسم المشترك الأكبر يختزل الكسر إلى الحدود الدنيا. يُسمى القاسم المشترك الأكبر أيضًا بـ GCF أو HCF.
- الخوارزمية الإقليدية — طريقة فعالة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين بالباقي المتكرر. استبدل العدد الأكبر ببقية قسمة الاثنين؛ كرر حتى يصبح الباقي 0. آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر. على سبيل المثال، \(\gcd(8,12)\): \(12 \bmod 8 = 4\)، ثم \(8 \bmod 4 = 0\)، إذن القاسم المشترك الأكبر هو 4. تشغل هذه الأداة هذه الخوارزمية لتبسيط كل نتيجة.
جدول مرجعي لتحويل الكسور الشائعة إلى كسور عشرية
القيمة العشرية للكسر هي ببساطة بسطه مقسومًا على مقامه. يسرد الجدول أدناه الكسور الأكثر استخدامًا مع معادلاتها العشرية. يشير الشريط فوق الرقم (أو ملاحظة "تكرار") إلى أن الكسر العشري يتكرر إلى الأبد.
| الكسر | الكسر العشري | الملاحظات |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | 0.5 | دقيق |
| \(\frac{1}{3}\) | 0.3333… | متكرر (0.3̅) |
| \(\frac{2}{3}\) | 0.6667… | متكرر (0.6̅) |
| \(\frac{1}{4}\) | 0.25 | دقيق |
| \(\frac{3}{4}\) | 0.75 | دقيق |
| \(\frac{1}{5}\) | 0.2 | دقيق |
| \(\frac{2}{5}\) | 0.4 | دقيق |
| \(\frac{3}{5}\) | 0.6 | دقيق |
| \(\frac{4}{5}\) | 0.8 | دقيق |
| \(\frac{1}{6}\) | 0.1667… | متكرر (0.16̅) |
| \(\frac{5}{6}\) | 0.8333… | متكرر (0.83̅) |
| \(\frac{1}{8}\) | 0.125 | دقيق |
| \(\frac{3}{8}\) | 0.375 | دقيق |
| \(\frac{5}{8}\) | 0.625 | دقيق |
| \(\frac{7}{8}\) | 0.875 | دقيق |
| \(\frac{1}{9}\) | 0.1111… | متكرر (0.1̅) |
| \(\frac{1}{10}\) | 0.1 | دقيق |
| \(\frac{1}{16}\) | 0.0625 | دقيق |
كتحقق من العملية، بجمع \(\frac{1}{4}\) و \(\frac{1}{8}\): المقام المشترك هو 8، مما يعطي \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=\) 0.375، وهو ما يطابق الجدول.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن يتطابق المقامان؟ لا. تجد الحاسبة المقام المشترك تلقائيًا، فيمكنك جمع كسور مثل \(2/5\) و\(7/8\) مباشرةً دون أي خطوات إضافية.
هل تبسّط الناتج؟ نعم. يُختزل كل ناتج إلى أبسط صوره باستخدام القاسم المشترك الأكبر.
هل يمكنني استخدام الأعداد السالبة؟ نعم. أدخل بسطًا (أو مقامًا) سالبًا، وتحتفظ الحاسبة بالإشارة وتُخرج مقامًا موجبًا في الناتج المبسّط.
