यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल दो भिन्नों (fractions) को जोड़ता या घटाता है और जवाब को पूरी तरह सरलीकृत (कम की गई) भिन्न के साथ-साथ उसके दशमलव रूप में भी देता है। बस हर भिन्न का अंश (numerator) और हर (denominator) डालें, जोड़ या घटाव चुनें — समान हर निकालना और परिणाम को सरल करना, यह सब काम कैलकुलेटर खुद कर लेगा।
इसका उपयोग कैसे करें
पहली भिन्न का अंश और हर लिखें, फिर क्रिया चुनें (जोड़ या घटाव), और उसके बाद दूसरी भिन्न डालें। कैलकुलेटर दोनों को मिलाकर एक भिन्न बनाता है और उसे सरल कर देता है। ऋणात्मक अंश और विषम भिन्न (जहाँ अंश हर से बड़ा हो) — दोनों पूरी तरह समर्थित हैं।
फ़ॉर्मूला समझें
दो भिन्नों को मिलाने के लिए उन्हें एक समान हर पर लाना पड़ता है। सबसे आसान समान हर होता है दोनों हरों का गुणनफल, यानी \(b \cdot d\)। इस तरह \(a/b\) बन जाता है \((a \cdot d)/(b \cdot d)\) और \(c/d\) बन जाता है \((c \cdot b)/(b \cdot d)\)। अब दोनों का हर एक जैसा है, इसलिए सिर्फ़ ऊपर के अंशों को जोड़ या घटा लें:
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$
अंत में, अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से भाग देकर परिणाम को सरल किया जाता है, जो यूक्लिड एल्गोरिदम से निकलता है।
$$\frac{n}{m} = \frac{n / \gcd(n,m)}{m / \gcd(n,m)}$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(1/2 + 1/3\) जोड़ें। फ़ॉर्मूला लगाने पर:
$$\frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$$
यहाँ 5 और 6 का GCD 1 है, इसलिए \(5/6\) पहले से ही सबसे सरल रूप में है। दशमलव में यह लगभग \(0.8333\) होता है।
घटाव का उदाहरण:
$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2} = \frac{6 - 4}{8} = \frac{2}{8}$$
जो GCD 2 से भाग देने पर \(1/4\) बन जाता है।
परिभाषाएँ और शब्दकोश
भिन्नों की शब्दावली को समझना उन्हें जोड़ना और घटाना बहुत आसान बनाता है। नीचे दिए गए शब्द एक भिन्न के प्रत्येक भाग और इस कैलकुलेटर द्वारा एक घटाए गए उत्तर प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चरणों का वर्णन करते हैं।
- अंश — एक भिन्न की शीर्ष संख्या। यह गणना करता है कि आपके पास कितने समान भाग हैं। \(\frac{3}{4}\) में, अंश 3 है।
- हर — एक भिन्न की निचली संख्या। यह बताता है कि कितने समान भाग एक पूरे को बनाते हैं। \(\frac{3}{4}\) में, हर 4 है। हर कभी भी 0 नहीं हो सकता।
- उचित भिन्न — एक भिन्न जिसका अंश इसके हर से छोटा है, इसलिए इसका मान 1 से कम है (उदाहरण के लिए \(\frac{2}{5}\))।
- अनुचित भिन्न — एक भिन्न जिसका अंश इसके हर के बराबर या बड़ा है, इसलिए इसका मान 1 या उससे अधिक है (उदाहरण के लिए \(\frac{7}{4}\))। दो भिन्नों का योग अक्सर अनुचित होता है।
- उभयनिष्ठ हर — एक एकल हर जो दो या अधिक भिन्नों द्वारा साझा किया जाता है। आप भिन्नों को जोड़ या घटा सकते हैं केवल तभी जब वे एक ही हर साझा करते हों। यह उपकरण दो हरों के गुणनफल, \(b\cdot d\), को एक गारंटीकृत उभयनिष्ठ हर के रूप में उपयोग करता है; परिणाम फिर घटाया जाता है।
- निम्नतम पद (सरलतम रूप) — एक भिन्न जिसमें अंश और हर के बीच 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है, जैसे \(\frac{2}{4}\) को \(\frac{1}{2}\) में घटाया गया।
- महत्तम समापवर्तक (GCD) — सबसे बड़ी पूर्ण संख्या जो अंश और हर दोनों को बिल्कुल विभाजित करती है। दोनों को उनके GCD से विभाजित करने से भिन्न निम्नतम पद में घट जाती है। GCD को GCF या HCF भी कहा जाता है।
- यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म — दो संख्याओं के GCD को खोजने की एक प्रभावी विधि जो दोहराई गई शेषफल द्वारा होती है। बड़ी संख्या को दो संख्याओं को विभाजित करने की शेषफल से प्रतिस्थापित करें; जब तक शेषफल 0 न हो जाए तब तक दोहराएँ। अंतिम गैर-शून्य शेषफल GCD है। उदाहरण के लिए, \(\gcd(8,12)\): \(12 \bmod 8 = 4\), फिर \(8 \bmod 4 = 0\), इसलिए GCD 4 है। यह उपकरण प्रत्येक परिणाम को सरल बनाने के लिए इस एल्गोरिथ्म को चलाता है।
सामान्य भिन्न-से-दशमलव संदर्भ तालिका
एक भिन्न का दशमलव मान केवल इसके अंश को इसके हर से विभाजित करना है। नीचे दी गई तालिका सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली भिन्नों को उनके दशमलव समतुल्यों के साथ सूचीबद्ध करती है। एक अंक (या "दोहराया जाता है" नोट) पर एक पट्टी इंगित करती है कि दशमलव हमेशा के लिए दोहराता है।
| भिन्न | दशमलव | नोट्स |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | 0.5 | सटीक |
| \(\frac{1}{3}\) | 0.3333… | दोहराया जाता है (0.3̅) |
| \(\frac{2}{3}\) | 0.6667… | दोहराया जाता है (0.6̅) |
| \(\frac{1}{4}\) | 0.25 | सटीक |
| \(\frac{3}{4}\) | 0.75 | सटीक |
| \(\frac{1}{5}\) | 0.2 | सटीक |
| \(\frac{2}{5}\) | 0.4 | सटीक |
| \(\frac{3}{5}\) | 0.6 | सटीक |
| \(\frac{4}{5}\) | 0.8 | सटीक |
| \(\frac{1}{6}\) | 0.1667… | दोहराया जाता है (0.16̅) |
| \(\frac{5}{6}\) | 0.8333… | दोहराया जाता है (0.83̅) |
| \(\frac{1}{8}\) | 0.125 | सटीक |
| \(\frac{3}{8}\) | 0.375 | सटीक |
| \(\frac{5}{8}\) | 0.625 | सटीक |
| \(\frac{7}{8}\) | 0.875 | सटीक |
| \(\frac{1}{9}\) | 0.1111… | दोहराया जाता है (0.1̅) |
| \(\frac{1}{10}\) | 0.1 | सटीक |
| \(\frac{1}{16}\) | 0.0625 | सटीक |
\(\frac{1}{4}\) और \(\frac{1}{8}\) को जोड़ने के एक काम किए गए सत्यापन के रूप में: उभयनिष्ठ हर 8 है, जो \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=\) 0.375 देता है, जो तालिका से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या दोनों भिन्नों के हर एक जैसे होने ज़रूरी हैं? नहीं। कैलकुलेटर अपने आप समान हर निकाल लेता है, इसलिए आप \(2/5\) और \(7/8\) जैसी भिन्नों को सीधे जोड़-घटा सकते हैं।
क्या यह जवाब को सरल कर देगा? हाँ। हर परिणाम को महत्तम समापवर्तक (GCD) की मदद से सबसे सरल रूप में लाया जाता है।
क्या मैं ऋणात्मक संख्याएं इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। ऋणात्मक अंश (या हर) डालें — कैलकुलेटर चिह्न को बनाए रखता है और सरलीकृत परिणाम में हर को धनात्मक रूप में दिखाता है।
