Что делает этот калькулятор

Этот инструмент складывает или вычитает два многочлена с одной переменной и выдаёт упрощённый результат: все подобные слагаемые приводятся, а ответ записывается в стандартном виде — от старшей степени к младшей. Калькулятор работает с любыми целыми показателями степени и с коэффициентами любого знака — целыми и дробными.

Как пользоваться

Введите первый многочлен, используя x как переменную и ^ для степеней, например 3x^2 + 2x - 5. Выберите действие — сложение или вычитание — и введите второй многочлен, скажем x^2 - 4x + 7. Пробелы и знаки * необязательны и просто игнорируются. Неявные коэффициенты распознаются автоматически: x означает 1x, а -x^2 — это -1x^2.

Как работает формула

Многочлен — это сумма слагаемых вида «коэффициент, умноженный на степень x». Чтобы сложить или вычесть два многочлена, нужно объединять только подобные слагаемые — те, у которых одинаковая степень. Для каждой степени i вычисляется $(a_i \pm b_i)x^i$, где $a_i$ и $b_i$ — соответствующие коэффициенты из двух многочленов. Слагаемые, у которых итоговый коэффициент равен нулю, из ответа исчезают.

$$\left(\sum a_i x^i\right) \pm \left(\sum b_i x^i\right) = \sum (a_i \pm b_i)\, x^i$$

Схема, показывающая подобные члены, выровненные по столбцам и объединённые сложением коэффициентов — Подобные члены выравниваются по степени, затем их коэффициенты складываются или вычитаются.

Разбор примера

Сложим $(3x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 4x + 7)$. Группируем по степеням: при $x^2$ получаем $3 + 1 = 4$, при $x$ — $2 + (-4) = -2$, а свободные члены дают $-5 + 7 = 2$. Результат — $4x^2 - 2x + 2$. Если же выполнять вычитание, сначала меняем знаки у второго многочлена:

$$(3x^2 + 2x - 5) - (x^2 - 4x + 7) = 2x^2 + 6x - 12$$

Схема, показывающая распределение знака минус по каждому члену второго многочлена с изменением знаков — При вычитании раскройте знак минус, чтобы изменить все знаки во втором многочлене.

Частые вопросы

Можно ли использовать другую переменную вместо x? Нет, для переменной используйте только x — другие буквы не распознаются.

Что будет, если слагаемое сократится? Если итоговый коэффициент равен нулю, слагаемое отбрасывается. Если сокращаются все слагаемые, результатом будет просто 0.

Допустимы ли дробные коэффициенты? Да — коэффициенты вроде 1.5x^2 поддерживаются и складываются точно.

Основные определения

Многочлен: Выражение, составленное из переменных и констант, использующее только сложение, вычитание и умножение, с целыми числовыми показателями степени переменных — например $3x^2 + 2x - 5$.
Член: Отдельная часть многочлена, отделённая знаками $+$ или $-$. В выражении $3x^2 + 2x - 5$ членами являются $3x^2$, $2x$ и $-5$.
Коэффициент: Числовой множитель, умножающий переменную часть члена. В $3x^2$ коэффициент равен $3$.
Показатель степени (степень): Целое число, указывающее, сколько раз переменная умножается сама на себя. В $x^2$ показатель степени равен $2$.
Подобные члены: Члены с одной и той же переменной, возведённой в одну и ту же степень, например $5x^2$ и $-2x^2$. При сложении или вычитании можно объединять только подобные члены.
Свободный член: Член без переменной, или эквивалентно член с показателем степени $0$ (так как $x^0 = 1$). В выражении $3x^2 + 2x - 5$ свободный член равен $-5$.
Степень многочлена: Наибольший показатель степени, встречающийся в многочлене. Степень многочлена $3x^2 + 2x - 5$ равна $2$.
Старший коэффициент: Коэффициент члена с наибольшим показателем степени. Для $3x^2 + 2x - 5$ он равен $3$.
Стандартный вид: Многочлен, записанный с членами, упорядоченными от наибольшего показателя степени к наименьшему, заканчивая свободным членом — принятый способ представления упрощённого результата.

Калькулятор сложения и вычитания многочленов

Введите расчет

Математическая формула

Результатов