Что делает этот калькулятор
Инструмент складывает или вычитает два вектора на плоскости, заданных своими компонентами по осям x и y, и выдаёт результирующий вектор. Он показывает компоненты результата (Rx, Ry), его модуль R и направление θ в градусах, отсчитываемое против часовой стрелки от положительного направления оси x. Это универсальный математический и физический инструмент: он работает в любой стране и не привязан к какой-либо системе единиц — важно лишь, чтобы все исходные значения были выражены в одних и тех же единицах.
Как пользоваться
Введите компоненты x и y для вектора A и вектора B, выберите действие — сложение или вычитание — и считайте модуль и угол результата. Если ваши векторы заданы в виде «модуль и угол», сначала переведите их в компоненты по формулам \(x = m\cdot\cos(\theta)\) и \(y = m\cdot\sin(\theta)\), а затем подставьте полученные значения сюда.
Разбор формулы
Сложение векторов выполняется покомпонентно:
$$R_x = A_x \pm B_x, \quad R_y = A_y \pm B_y$$
(для вычитания ставьте знак минус). Модуль находится по теореме Пифагора, а направление вычисляется через двухаргументный арктангенс:
$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(R_y, R_x)$$
который, в отличие от обычного arctan, правильно определяет четверть и возвращает значение в диапазоне от −180° до +180°.
Пример расчёта
Сложим A = (3, 4) и B = (1, 2). Тогда \(R_x = 3 + 1 = 4\) и \(R_y = 4 + 2 = 6\). Модуль равен
$$R = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} \approx 7{,}2111 \text{ единицы}$$
Направление — \(\operatorname{atan2}(6, 4) \approx 56{,}31°\) выше положительного направления оси x.
Частые вопросы
Что означает отрицательный угол? Отрицательное \(\theta\) означает, что результирующий вектор направлен ниже положительной оси x (по часовой стрелке). Прибавьте 360°, если вам удобнее работать с углами в диапазоне 0–360°.
Можно ли вычитать векторы? Да — выберите режим «Вычитание», чтобы посчитать A − B; это то же самое, что сложить A с вектором, противоположным B.
Что если результат равен нулю? Если обе компоненты равны 0, модуль равен 0, а направление не определено; в этом случае калькулятор по соглашению выдаёт 0°.
Определения и глоссарий
- Результирующий вектор
- Один вектор \(\vec{R}\), равный сумме (или разности) двух векторов. Для сложения \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\); для вычитания \(\vec{R} = \vec{A} - \vec{B}\). Он представляет чистый эффект объединённых векторов.
- Компонента (x / y)
- Проекция вектора на оси x и y. \(R_x\) — горизонтальная часть, а \(R_y\) — вертикальная часть. Компоненты складываются независимо: \(R_x = A_x \pm B_x\), \(R_y = A_y \pm B_y\). Компоненты используют ту же произвольную, но согласованную единицу измерения, что и исходные векторы (м, Н, м/с и т. д.).
- Модуль (величина)
- Длина вектора, \(|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\). Всегда неотрицательна и выражается в единице, общей для векторов.
- Угол направления \(\theta\)
- Угол, который вектор образует с положительной осью x, измеренный против часовой стрелки. Обычно выражается в градусах или радианах; единица — это соглашение, а не физическая величина.
- atan2 против atan
- \(\operatorname{atan}(R_y/R_x)\) возвращает только значения в диапазоне \((-90^\circ, 90^\circ)\) и теряет информацию о знаке, когда обе компоненты отрицательны или когда \(R_x<0\). \(\operatorname{atan2}(R_y, R_x)\) использует знаки обеих компонент, чтобы вернуть правильный угол в полном диапазоне \((-180^\circ, 180^\circ]\), размещая вектор в его надлежащем квадранте.
- Сложение «хвост к кончику»
- Графический метод: нарисуйте \(\vec{A}\), затем нарисуйте \(\vec{B}\), начиная с кончика вектора \(\vec{A}\). Результирующий вектор идёт от хвоста вектора \(\vec{A}\) к кончику вектора \(\vec{B}\). Это геометрический эквивалент сложения компонент.
