Что такое модуль Юнга?
Модуль Юнга (\(E\)), который также называют модулем упругости, характеризует жёсткость материала — то, насколько сильно он сопротивляется упругому растяжению или сжатию. Он определяется как отношение механического напряжения к относительной деформации в пределах линейного участка (зоны действия закона Гука) на диаграмме «напряжение — деформация». Высокий модуль Юнга (как у стали, около 200 ГПа) означает, что материал очень жёсткий, а низкое значение (как у резины) — что он легко деформируется.
Как пользоваться калькулятором
Введите приложенную силу F в ньютонах, площадь поперечного сечения A в квадратных метрах, исходную длину L₀ в метрах и измеренное изменение длины ΔL в метрах. Калькулятор выдаст модуль Юнга в паскалях и гигапаскалях, а также значения напряжения и деформации, чтобы вы могли проверить каждый шаг расчёта.
Разбор формулы
Напряжение — это сила, делённая на площадь: \(\sigma = F/A\), измеряется в паскалях (Н/м²). Относительная деформация — это доля удлинения: \(\varepsilon = \Delta L / L_0\), она безразмерна. Модуль Юнга равен их отношению:
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot \Delta L}$$Поскольку у жёстких материалов деформация мала, значение \(E\) обычно получается очень большим — именно поэтому его принято указывать в гигапаскалях (\(1\ \text{ГПа} = 10^9\ \text{Па}\)).
Пример расчёта
Допустим, проволоку с площадью сечения \(A = 0{,}0001\ \text{м}^2\) и исходной длиной \(L_0 = 2\ \text{м}\) растягивают силой \(F = 1000\ \text{Н}\), в результате чего она удлиняется на \(\Delta L = 0{,}0005\ \text{м}\). Напряжение:
$$\sigma = \frac{1000}{0{,}0001} = 10\,000\,000\ \text{Па}$$Деформация:
$$\varepsilon = \frac{0{,}0005}{2} = 0{,}00025$$Следовательно:
$$E = \frac{10\,000\,000}{0{,}00025} = 4 \times 10^{10}\ \text{Па} = 40\ \text{ГПа}$$Частые вопросы
Какие единицы измерения использовать? Применяйте единицы СИ — ньютоны для силы, квадратные метры для площади, метры для длины — тогда \(E\) сразу получится в паскалях. Перед вводом переведите мм² в м² (разделите на 1 000 000).
Модуль Юнга и жёсткость — это одно и то же? Эти понятия связаны, но не тождественны. Жёсткость зависит ещё и от геометрии тела, тогда как модуль Юнга — это собственное свойство материала, не зависящее от формы.
Применим ли он только к растяжению? У большинства материалов тот же модуль справедлив и при небольшом упругом сжатии — при условии, что вы остаётесь в зоне линейной упругости ниже предела текучести.
