Что описывает уравнение Юнга–Лапласа?
Уравнение Юнга–Лапласа задаёт перепад давления (\(\Delta P\)) на границе раздела двух неподвижных жидкостей или сред — например воздуха и воды, — который возникает из-за поверхностного натяжения. Искривлённая поверхность, скажем оболочка капли или пузырька, словно сжимает жидкость внутри, и давление внутри оказывается выше окружающего. Этот калькулятор вычисляет такой «скачок» давления по коэффициенту поверхностного натяжения \(\gamma\) и кривизне поверхности.
Как пользоваться калькулятором
Выберите геометрию поверхности. Для сферы или сферической капли укажите поверхностное натяжение \(\gamma\) (в ньютонах на метр) и единственный радиус \(R\). Для произвольной поверхности задайте оба главных радиуса кривизны \(R_1\) и \(R_2\). Калькулятор выдаёт \(\Delta P\) в паскалях, килопаскалях и миллиметрах ртутного столба. Используйте единицы СИ: радиусы — в метрах, поверхностное натяжение — в Н/м (что эквивалентно Дж/м²).
Разбор формулы
Для произвольной поверхности перепад давления равен
$$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$$Сумма \(\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)\) — это удвоенная средняя кривизна поверхности. Малый радиус означает большую кривизну, а значит и значительный перепад давления — именно поэтому у крошечных капель и пузырьков внутреннее давление так высоко. Для сферы оба радиуса равны, и уравнение упрощается до
$$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$$
Пример расчёта
Возьмём каплю воды радиусом \(R = 0{,}001\ \text{м}\) (1 мм) с поверхностным натяжением \(\gamma = 0{,}0728\ \text{Н/м}\) при комнатной температуре. По формуле для сферы получаем
$$\Delta P = \frac{2 \times 0{,}0728}{0{,}001} = 145{,}6\ \text{Па}$$То есть давление внутри капли примерно на 146 Па выше, чем давление окружающего воздуха.
Частые вопросы
Почему для сферы появляется множитель 2? У сферы радиус одинаков по всем направлениям, поэтому \(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{2}{R}\).
Подходит ли это для мыльного пузыря? У мыльного пузыря две границы раздела (внутренняя и внешняя), поэтому перепад давления удваивается: \(\Delta P = \frac{4\gamma}{R}\). Введите половину радиуса или умножьте результат для сферы на 2, чтобы учесть вторую поверхность.
В каких единицах вводить данные? Используйте метры для радиусов и Н/м для поверхностного натяжения — тогда ответ получится в паскалях.
