ما هي معادلة يونغ-لابلاس؟
تصف معادلة يونغ-لابلاس فرق الضغط (\(\Delta P\)) الذي ينشأ عبر السطح البيني الفاصل بين مائعين ساكنين — كالهواء والماء مثلًا — والناتج عن التوتر السطحي. فالسطح المنحني، كسطح قطرة أو فقاعة، يضغط على المائع الموجود بداخله، ما يرفع الضغط الداخلي ليتجاوز الضغط المحيط. تحسب هذه الأداة مقدار هذه القفزة في الضغط انطلاقًا من التوتر السطحي \(\gamma\) ومن انحناء السطح.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر شكل السطح أولًا. إذا كنت تتعامل مع كرة أو قطرة كروية، أدخل التوتر السطحي \(\gamma\) (بوحدة نيوتن لكل متر) ونصف القطر الواحد \(R\). أما إذا كان السطح عامًّا، فأدخل نصفي قطري الانحناء الرئيسيين \(R_1\) و \(R_2\). تعطيك الحاسبة قيمة \(\Delta P\) بوحدات الباسكال والكيلوباسكال وملِّيمترات الزئبق. احرص على استخدام الوحدات الدولية (SI) في كل القيم: أنصاف الأقطار بالمتر، والتوتر السطحي بوحدة N/m (أو ما يكافئها J/m²).
شرح المعادلة
بالنسبة لسطح عام، تكون قفزة الضغط $$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$$ ويمثّل المقدار \(\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)\) ضعف متوسط الانحناء للسطح. فكلما صغر نصف القطر زاد الانحناء، ومن ثَمّ ازداد فرق الضغط، وهذا ما يفسّر ارتفاع الضغط الداخلي في القطرات والفقاعات الصغيرة جدًا. وفي حالة الكرة يتساوى نصفا القطر، فتتبسّط المعادلة إلى $$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$$
مثال محلول
لنأخذ قطرة ماء نصف قطرها \(R = 0.001\) م (أي 1 مم) وتوترها السطحي \(\gamma = 0.0728\) N/m عند درجة حرارة الغرفة. باستخدام صيغة الكرة، نحصل على $$\Delta P = \frac{2 \times 0.0728}{0.001} = 145.6 \text{ باسكال}$$ أي إن الضغط داخل القطرة يزيد بنحو 146 باسكال عن ضغط الهواء المحيط.
الأسئلة الشائعة
لماذا يظهر العامل 2 في حالة الكرة؟ لأن الكرة لها نصف القطر نفسه في كل الاتجاهات، ومن ثَمّ فإن \(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{2}{R}\).
هل تنطبق المعادلة على فقاعة الصابون؟ تمتلك فقاعة الصابون سطحين بينيين (داخلي وخارجي)، لذا تتضاعف قفزة الضغط لتصبح \(\Delta P = \frac{4\gamma}{R}\). أدخل نصف قيمة نصف القطر، أو اضرب نتيجة الكرة في 2، لتأخذ السطح الإضافي في الحسبان.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ استخدم المتر لأنصاف الأقطار ووحدة N/m للتوتر السطحي حتى تحصل على النتيجة بالباسكال.
