حاسبة معامل الانتشار (ستوكس–أينشتاين)

أدخل الحساب

درجة الحرارة (K)

اللزوجة الديناميكية (Pa·s)

نصف قطر الجسيم (m)

صيغة رياضية

نتائج

معامل الانتشار

٢٫٤٥٣٧٣١أس؜-١٠

m²/s

المعادلة	ستوكس–أينشتاين
ثابت بولتزمان	1.380649 × 10⁻²³ J/K

ما المقصود بمعامل الانتشار في علاقة ستوكس–أينشتاين؟

يُعبّر معامل الانتشار (\(D\)) عن السرعة التي تنتشر بها الجسيمات داخل سائل نتيجة الحركة البراونية العشوائية. وعندما يتعلق الأمر بجسيم كروي صغير معلّق في سائل، تربط معادلة ستوكس–أينشتاين بين قيمة \(D\) وكلٍّ من درجة الحرارة ولزوجة السائل ونصف قطر الجسيم. وتُستخدم هذه العلاقة على نطاق واسع في الكيمياء الفيزيائية وعلم الغرويات والفيزياء الحيوية والصيدلة — على سبيل المثال لتقدير سرعة انتقال البروتينات أو الجسيمات النانوية أو جزيئات الدواء.

A spherical particle of radius r diffusing through a viscous fluid via random collisions.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل ثلاث قيم: درجة الحرارة المطلقة بوحدة الكلفن (K)، واللزوجة الديناميكية للسائل المحيط بوحدة الباسكال-ثانية (Pa·s)، ونصف القطر الهيدروديناميكي للجسيم بوحدة المتر (m). تُرجِع الحاسبة قيمة \(D\) بوحدة المتر المربع لكل ثانية (m²/s). تبلغ لزوجة الماء عند 25 °م نحو 0.00089 Pa·s، أما درجة حرارة الغرفة فتساوي 298.15 K.

شرح المعادلة

تُكتب المعادلة على الصورة $$D = \dfrac{k_B \, T}{6 \pi \eta r}$$ حيث \(k_B = 1.380649 \times 10^{-23}\ \text{J/K}\) هو ثابت بولتزمان، و\(T\) هي درجة الحرارة المطلقة، و\(\eta\) هي اللزوجة الديناميكية، و\(r\) هو نصف قطر الجسيم. ويمثّل المقام \(6 \pi \eta r\) معامل سحب ستوكس لجسيم كروي. وكلما ارتفعت درجة الحرارة زاد الانتشار، بينما تؤدي زيادة اللزوجة أو كبر نصف القطر إلى إبطائه.

Diffusion increases with thermal energy and decreases with fluid viscosity and particle radius.

مثال محلول

لنأخذ جسيمًا نصف قطره 1 نانومتر (\(r = 1 \times 10^{-9}\ \text{m}\)) في الماء عند 25 °م (\(T = 298.15\ \text{K}\)، \(\eta = 0.00089\ {\text{Pa}\cdot\text{s}}\)): يكون المقام مساويًا $$6 \times \pi \times 0.00089 \times 1\mathrm{e}{-9} \approx 1.6776 \times 10^{-11}$$ ويكون البسط $$1.380649\mathrm{e}{-23} \times 298.15 \approx 4.1164 \times 10^{-21}$$ ومن ثَمّ فإن \(D \approx 2.45 \times 10^{-10}\ \text{m}^2/\text{s}\).

الأسئلة الشائعة

ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ وحدات النظام الدولي (SI): الكلفن، والباسكال-ثانية، والمتر. وعندها تأتي النتيجة بوحدة m²/s.

هل تفترض المعادلة أن الجسيم كروي؟ نعم — فالحد \(6 \pi \eta r\) يمثّل سحب ستوكس لكرة صلبة ملساء؛ أما الجسيمات غير الكروية فيُستخدم لها نصف القطر الهيدروديناميكي الفعّال.

هل تصلح هذه العلاقة للغازات؟ تناسب علاقة ستوكس–أينشتاين أساسًا الجسيمات الأكبر بكثير من جزيئات المذيب في سائل متصل؛ أما الغازات المخففة فتُطبَّق عليها نماذج أخرى.