¿Qué es la fórmula explícita de una sucesión aritmética?
Una sucesión aritmética es una lista de números en la que cada término aumenta (o disminuye) en una cantidad fija, llamada diferencia común d. La fórmula explícita te permite calcular directamente cualquier término sin tener que escribir todos los anteriores. Conociendo el primer término a₁ y la diferencia común d, el término n es:
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres valores: el primer término (\(a_1\)), la diferencia común (\(d\)) y la posición del término que buscas (\(n\)). La calculadora devuelve al instante \(a_n\) y, además, te muestra la suma de los primeros n términos (\(S_n\)) para mayor comodidad. Tanto \(a_1\) como \(d\) pueden ser negativos o decimales; \(n\) debe ser un número entero igual o mayor que 1.
La fórmula al detalle
El factor «(n − 1)» es clave porque el primer término ya ocupa la posición 1: solo sumas la diferencia común por cada paso posterior al primero. Así, llegar al quinto término significa sumar d cuatro veces a a₁. Por eso usamos (n − 1) y no n.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a_1 = 2\) y \(d = 3\). Para hallar el décimo término: $$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29.$$ La suma de los primeros 10 términos es $$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si la diferencia común es negativa? Una \(d\) negativa simplemente indica que la sucesión decrece. La fórmula funciona exactamente igual.
¿Puede n ser una fracción? No. La posición del término \(n\) debe ser un número entero positivo, ya que los términos de una sucesión se cuentan con números enteros.
¿Cuál es la diferencia entre la fórmula explícita y la recursiva? La forma recursiva (\(a_n = a_{n-1} + d\)) necesita el término anterior, mientras que la forma explícita da cualquier término directamente a partir de \(a_1\), \(d\) y \(n\).
