等差数列计算器能做什么
等差数列是一组数字，其中每一项都比前一项增加（或减少）固定的数值，这个固定数值称为"公差"。本计算器只需三个输入项，就能立即算出末项、所有项之和，并以颜色渐变的方式直观呈现整个数列，让你一眼看清数列的变化趋势。
你需要输入的内容
- 首项（a₁）：数列的起始数值。
- 公差（d）：每一项加上它即可得到下一项的固定数值。公差为正时数列递增，为负时数列递减。
- 项数（n）：你想要生成的项的数量，计算器会逐项列出并求和。
所用公式
计算器采用两个标准的等差数列公式：
- 第 n 项（末项）：$$a_n = \text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}$$
- 前 n 项之和：$$S_n = \frac{\text{n}}{2}\times\left(2\,\text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}\right)$$
同时，它会从 \(a_1\) 一直生成到 \(a_n\) 的每一项。在可视化展示中，每一项都按绿到红的渐变着色，并略微调整大小——最小值显示为绿色且较小，最大值显示为红色且较大——这样数列的变化趋势就一目了然。
实例演示
假设你输入首项 = 3，公差 = 5，项数 = 6。
- 末项：$$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right)\times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- 求和：$$S_6 = \frac{6}{2}\times\left(2\times 3 + \left(6 - 1\right)\times 5\right) = 3\times\left(6 + 25\right) = 3\times 31 = \mathbf{93}$$
- 数列：3, 8, 13, 18, 23, 28
计算器会返回末项 28、总和 93，并将全部六项以颜色渐变的形式展示出来。
比较不同的数列输入
等差数列由三个输入定义：首项 \(a_1\)、公差 \(d\) 和项数 \(n\)。从这些可以计算最后（第n项）和所有项的和，使用：
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
下表显示了在几个现实输入集中，最后一项和和如何变化。注意公差为负会产生递减数列，分数差会产生非整数项。
| 首项 \(a_1\) | 公差 \(d\) | 项数 \(n\) | 末项 \(a_n\) | 和 \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
例如，最后一行对整数 \(0+1+2+\cdots+99\) 求和。使用 \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\)。这个相同的总数可以用 等差级数 公式确认，等价于求和 \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\)。
常见问题
公差可以是负数或小数吗？可以。输入项均按十进制数处理，因此公差为 −2 会得到递减数列，0.5 则会产生小数步长。唯独项数必须是整数。
如果项数输入 1 会怎样？数列将只包含首项，末项等于首项，总和也就等于这个数值本身。
这个计算器也能用于等差级数吗？可以——"求和"结果正是等差级数的值（所有项的总和），由上面的 \(S_n\) 公式计算得出。
