等差數列計算機能做什麼
等差數列是一連串的數字，其中每一項都比前一項增加（或減少）固定的數值，這個固定差值稱為「公差」。本計算機只需三項輸入，就能立即算出末項、所有項的總和，並以色彩標示的視覺化圖示完整呈現整個數列，讓你一眼看出數值的變化趨勢。
你需要輸入的資料
- 首項（a₁）：數列的起始數值。
- 公差（d）：每一項加上多少才能得到下一項。正值會讓數列遞增，負值則會讓數列遞減。
- 項數（n）：你想產生多少項，這些項會被列出並加總。
使用的公式
本計算機採用等差數列的兩條標準公式：
- 第 n 項（末項）：$$a_n = \text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}$$
- 前 n 項總和：$$S_n = \frac{\text{n}}{2}\times\left(2\,\text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}\right)$$
計算機同時會建立從 a₁ 到 aₙ 的每一個項。在視覺化顯示中，每一項會以綠到紅的漸層著色並略微調整大小——最小的值顯示為綠色且較小，最大的值顯示為紅色且較大——讓變化趨勢一目了然。
實例演算
假設你輸入首項 = 3、公差 = 5、項數 = 6。
- 末項：$$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right)\times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- 總和：$$S_6 = \frac{6}{2}\times\left(2\times 3 + \left(6 - 1\right)\times 5\right) = 3\times\left(6 + 25\right) = 3\times 31 = \mathbf{93}$$
- 數列：3, 8, 13, 18, 23, 28
計算機會回傳末項 28、總和 93，並以漸層色彩顯示全部六項。
比較不同數列輸入
等差數列由三個輸入定義：首項 \(a_1\)、公差 \(d\) 和項數 \(n\)。根據這些，您可以使用以下公式計算最後（第n）項和所有項的和：
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
下表顯示了在多個實際輸入集中，最後一項和和如何變化。注意負公差產生遞減數列，分數差產生非整數項。
| 首項 \(a_1\) | 公差 \(d\) | 項數 \(n\) | 最後一項 \(a_n\) | 和 \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
例如，最後一行對整數 \(0+1+2+\cdots+99\) 求和。使用 \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\)。這個相同的總和可以用等差級數公式確認，也等同於求和 \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\)。
常見問題
公差可以是負數或小數嗎？可以。輸入值會以小數讀取，因此公差為 −2 會產生遞減數列，0.5 則會產生小數遞增的步進。只有項數必須是整數。
如果項數輸入 1 會怎樣？數列將只包含首項，末項會等於首項，總和也就是該數值本身。
這個計算機也能計算等差級數嗎？可以——「總和」輸出正是等差級數的值（所有項的合計），由上述 \(S_n\) 公式計算而得。
