인수분해로 이차방정식 풀기 계산기

계산 입력

계수 a

계수 b

계수 c

결과

이차방정식의 근

x₁ = 3, x₂ = 2

two distinct real roots

Discriminant (b² - 4ac)	1
근 1	3
근 2	2

이 계산기는 무엇을 하나요

이 도구는 표준형 \(ax^{2} + bx + c = 0\)으로 쓰인 모든 이차방정식을, 식을 성립시키는 두 개의 x 값을 찾아 풀어 줍니다. 정수 범위에서 인수분해가 되는 이차식은 \(a(x - r_{1})(x - r_{2}) = 0\) 꼴로 나타낼 수 있으며, 각 인수를 0으로 놓으면 하나의 근을 얻습니다. 깔끔한 정수 인수가 존재하지 않더라도 이 계산기는 그와 동일한 결과를 주는 근의 공식을 이용해 근을 찾아 줍니다.

사용 방법

방정식의 세 계수 a, b, c를 입력하세요. 예를 들어 \(x^{2} - 5x + 6 = 0\)은 \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)입니다. 계산 버튼을 누르면 두 근과 판별식, 그리고 해의 성질을 확인할 수 있습니다. 만약 \(a = 0\)이면 이 식은 이차방정식이 아니라 일차방정식이 되며, 하나의 근만 반환됩니다.

공식 풀이

근은 다음으로 구합니다.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

제곱근 안의 식 \(\Delta = b^{2} - 4ac\)를 판별식이라고 합니다. \(\Delta > 0\)이면 서로 다른 두 실근이 있고, \(\Delta = 0\)이면 중근(하나의 근)이 있으며, \(\Delta < 0\)이면 두 근은 서로 켤레인 복소수가 됩니다.

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인수분해는 이차식을 두 일차식의 곱으로 다시 쓰며, 각각이 하나의 근을 줍니다.

예제 풀이

\(x^{2} - 5x + 6 = 0\)을 살펴봅시다.

$$\Delta = (-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$$$x = \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{과} 2$$

이 식은 \((x - 3)(x - 2) = 0\)으로 깔끔하게 인수분해되며, 근이 3과 2임을 확인할 수 있습니다.

근은 포물선이 x축과 만나는 지점입니다.

자주 묻는 질문

방정식이 깔끔하게 인수분해되지 않으면 어떻게 되나요? 그래도 계산기는 근의 공식을 이용해 정확한 소수 형태의 근을 반환합니다. 이 공식은 정수 인수가 존재하지 않을 때도 작동합니다.

판별식이 음수면 어떻게 되나요? 이 경우 근은 복소수이며, 도구는 실수부 \(\pm\) (허수부 \(\times\) i) 형태로 표시합니다.

a가 0이어도 되나요? \(a = 0\)이면 식은 일차방정식(\(bx + c = 0\))이 되고, 도구는 하나의 근 \(-c/b\)를 반환합니다.