이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 표준형 \(ax^{2} + bx + c = 0\)으로 쓰인 모든 이차방정식을, 식을 성립시키는 두 개의 x 값을 찾아 풀어 줍니다. 정수 범위에서 인수분해가 되는 이차식은 \(a(x - r_{1})(x - r_{2}) = 0\) 꼴로 나타낼 수 있으며, 각 인수를 0으로 놓으면 하나의 근을 얻습니다. 깔끔한 정수 인수가 존재하지 않더라도 이 계산기는 그와 동일한 결과를 주는 근의 공식을 이용해 근을 찾아 줍니다.
사용 방법
방정식의 세 계수 a, b, c를 입력하세요. 예를 들어 \(x^{2} - 5x + 6 = 0\)은 \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)입니다. 계산 버튼을 누르면 두 근과 판별식, 그리고 해의 성질을 확인할 수 있습니다. 만약 \(a = 0\)이면 이 식은 이차방정식이 아니라 일차방정식이 되며, 하나의 근만 반환됩니다.
공식 풀이
근은 다음으로 구합니다.
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$제곱근 안의 식 \(\Delta = b^{2} - 4ac\)를 판별식이라고 합니다. \(\Delta > 0\)이면 서로 다른 두 실근이 있고, \(\Delta = 0\)이면 중근(하나의 근)이 있으며, \(\Delta < 0\)이면 두 근은 서로 켤레인 복소수가 됩니다.
예제 풀이
\(x^{2} - 5x + 6 = 0\)을 살펴봅시다.
$$\Delta = (-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$$$x = \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{과} 2$$이 식은 \((x - 3)(x - 2) = 0\)으로 깔끔하게 인수분해되며, 근이 3과 2임을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
방정식이 깔끔하게 인수분해되지 않으면 어떻게 되나요? 그래도 계산기는 근의 공식을 이용해 정확한 소수 형태의 근을 반환합니다. 이 공식은 정수 인수가 존재하지 않을 때도 작동합니다.
판별식이 음수면 어떻게 되나요? 이 경우 근은 복소수이며, 도구는 실수부 \(\pm\) (허수부 \(\times\) i) 형태로 표시합니다.
a가 0이어도 되나요? \(a = 0\)이면 식은 일차방정식(\(bx + c = 0\))이 되고, 도구는 하나의 근 \(-c/b\)를 반환합니다.
