Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Bu araç, standart biçimde yazılmış her ikinci dereceden denklemi, yani \(ax^{2} + bx + c = 0\) denklemini, eşitliği sağlayan iki x değerini bularak çözer. Bir ikinci dereceden ifade tam sayılarla çarpanlarına ayrılabildiğinde \(a(x - r_{1})(x - r_{2}) = 0\) şeklinde yazılabilir; her çarpan sıfıra eşitlendiğinde bir kök elde edilir. Hesaplayıcı, temiz tam sayı çarpanları olmadığında bile eşdeğer ikinci dereceden denklem formülünü kullanarak bu kökleri bulur.
Nasıl Kullanılır?
Denkleminizdeki a, b ve c katsayılarını girin. Örneğin \(x^{2} - 5x + 6 = 0\) denkleminde \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) olur. Hesapla düğmesine bastığınızda iki kökü, diskriminantı ve çözümün türünü görürsünüz. \(a = 0\) olduğunda denklem ikinci dereceden değil, birinci dereceden (doğrusal) olur ve tek bir kök döndürülür.
Formülün Açıklaması
Kökler şu formülden elde edilir: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ Karekökün içindeki ifade olan \(\Delta = b^{2} - 4ac\) değerine diskriminant denir. \(\Delta > 0\) ise birbirinden farklı iki gerçek kök vardır; \(\Delta = 0\) ise tek bir katlı (çakışık) kök vardır; \(\Delta < 0\) ise kökler birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayıdır.
Örnek Çözüm
\(x^{2} - 5x + 6 = 0\) denklemi için: $$\Delta = (-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.$$ $$\text{Kökler} = \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ ve } 2.$$ Bu ifade düzgün biçimde \((x - 3)(x - 2) = 0\) olarak çarpanlarına ayrılır ve köklerin 3 ile 2 olduğunu doğrular.
Sıkça Sorulan Sorular
Denklemim düzgün çarpanlara ayrılmıyorsa ne olur? Hesaplayıcı, tam sayı çarpanları bulunmasa bile her durumda çalışan ikinci dereceden denklem formülünü kullanarak tam ondalıklı kökleri yine de verir.
Diskriminant negatif olursa ne olur? Kökler karmaşık sayılardır; araç bunları gerçek kısım \(\pm\) sanal kısım çarpı i biçiminde bildirir.
a sıfır olabilir mi? \(a = 0\) ise denklem birinci dereceden (\(bx + c = 0\)) olur ve araç tek kök olan \(-c/b\) değerini döndürür.
