गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण हल करें

गणना दर्ज करें

गुणांक a

गुणांक b

गुणांक c

परिणाम

द्विघात समीकरण के मूल

x₁ = 3, x₂ = 2

two distinct real roots

Discriminant (b² - 4ac)	1
मूल 1	3
मूल 2	2

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल मानक रूप \(ax^2 + bx + c = 0\) में लिखे किसी भी द्विघात समीकरण को हल करता है, यानी x के वे दो मान खोजता है जो समीकरण को सत्य बनाते हैं। जब किसी द्विघात का पूर्णांकों पर गुणनखंड संभव हो, तो उसे \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\) के रूप में लिखा जा सकता है, और हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने से एक मूल मिलता है। यदि साफ-सुथरे पूर्णांक गुणनखंड न भी हों, तब भी यह कैलकुलेटर समतुल्य द्विघात सूत्र की मदद से मूल ज्ञात कर लेता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने समीकरण से तीन गुणांक a, b और c दर्ज करें। उदाहरण के लिए, \(x^2 - 5x + 6 = 0\) में \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) होता है। 'गणना करें' दबाते ही आपको दोनों मूल, विविक्तकर (discriminant) और हल की प्रकृति दिखाई देगी। यदि \(a = 0\) हो, तो समीकरण द्विघात नहीं बल्कि रैखिक होता है और इस स्थिति में एक ही मूल लौटाया जाता है।

सूत्र की व्याख्या

मूल इस सूत्र से प्राप्त होते हैं: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ वर्गमूल के अंदर का व्यंजक \(\Delta = b^2 - 4ac\) विविक्तकर कहलाता है। यदि \(\Delta > 0\) हो तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं; यदि \(\Delta = 0\) हो तो एक ही दोहराया हुआ मूल मिलता है; और यदि \(\Delta < 0\) हो तो मूल एक सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) जोड़ी के रूप में होते हैं।

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गुणनखंडन द्विघात को दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में लिखता है, हर एक एक मूल देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x^2 - 5x + 6 = 0\) के लिए: $$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ मूल \(= (5 \pm 1)/2 = 3\) और \(2\)। इसका गुणनखंड साफ रूप से \((x - 3)(x - 2) = 0\) बनता है, जिससे 3 और 2 मूल होने की पुष्टि होती है।

मूल वहाँ हैं जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि मेरे समीकरण का गुणनखंड साफ-सुथरा न बने तो? ऐसी स्थिति में भी कैलकुलेटर द्विघात सूत्र का उपयोग करके सटीक दशमलव मूल लौटा देता है, जो तब भी काम करता है जब पूर्णांक गुणनखंड मौजूद न हों।

विविक्तकर ऋणात्मक होने पर क्या होता है? तब मूल सम्मिश्र (complex) होते हैं; टूल इन्हें एक वास्तविक भाग \(\pm\) एक काल्पनिक भाग गुणा \(i\) के रूप में दर्शाता है।

क्या a शून्य हो सकता है? यदि \(a = 0\) हो, तो समीकरण रैखिक (\(bx + c = 0\)) बन जाता है और टूल इसका एकमात्र मूल \(-c/b\) लौटाता है।