À quoi sert ce calculateur ?
Le calculateur de la somme des n premiers entiers naturels additionne tous les nombres entiers de 1 jusqu'à une valeur de votre choix, n. Plutôt que de taper 1 + 2 + 3 + ... à la main, il s'appuie sur la célèbre formule \(S = n(n+1)/2\) pour vous donner le résultat instantanément, quelle que soit la taille de n.
Comment l'utiliser
Indiquez le nombre de termes, n (par exemple 100 pour additionner de 1 à 100), puis lisez le résultat. Le calculateur affiche également combien de termes ont été additionnés ainsi que la valeur moyenne de ces termes, qui vaut \((n+1)/2\).
La formule expliquée
La somme d'une suite arithmétique dont le premier terme est 1, le dernier terme n, et qui compte n termes, est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme :
$$S = n \times \frac{1 + n}{2}$$Ce qui se simplifie en
$$S = \frac{n(n+1)}{2}$$L'astuce — associer le premier et le dernier terme, le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite — est souvent attribuée au jeune Carl Friedrich Gauss.
Exemple concret
Pour \(n = 100\) :
$$S = 100 \times \frac{100 + 1}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$$La moyenne des termes vaut \(\frac{100 + 1}{2} = 50{,}5\).
Questions fréquentes
Le zéro est-il inclus ? Non. Ici, les entiers naturels commencent à 1 ; la somme couvre donc les nombres de 1 à n.
n peut-il être un nombre décimal ? La formule fonctionne avec n'importe quel nombre, mais un véritable décompte d'entiers naturels doit être un nombre entier positif.
Pourquoi utiliser la formule plutôt que d'additionner ? La formule donne le résultat en une seule étape, même pour un n de plusieurs milliards, alors qu'additionner les nombres un à un prendrait infiniment plus de temps.
