Что это за калькулятор?
Калькулятор суммы первых n натуральных чисел складывает все целые числа от 1 до выбранного вами значения n. Вместо того чтобы вручную набирать 1 + 2 + 3 + ..., он использует знаменитую формулу \(S = n(n+1)/2\) и выдаёт ответ мгновенно — каким бы большим ни было n.
Как пользоваться
Укажите количество слагаемых n (например, 100, чтобы сложить числа от 1 до 100) и сразу увидите результат. Калькулятор также покажет, сколько слагаемых было просуммировано, и среднее значение этих чисел, которое равно \((n+1)/2\).
Разбор формулы
Сумма арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, последний — n, а всего n членов, равна числу слагаемых, умноженному на среднее арифметическое первого и последнего члена:
$$S = n \times \frac{1 + n}{2}$$После упрощения получаем
$$S = \frac{n(n+1)}{2}$$Хитрость — складывать в пары первое и последнее число, второе и предпоследнее и так далее — чаще всего приписывают юному Карлу Фридриху Гауссу.
Пример расчёта
Для n = 100:
$$S = 100 \times \frac{100 + 1}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$$Среднее значение слагаемого равно
$$\frac{100 + 1}{2} = 50{,}5$$
Частые вопросы
Учитывается ли ноль? Нет. Натуральные числа здесь начинаются с 1, поэтому сумма охватывает значения от 1 до n.
Может ли n быть дробным? Формула работает с любым числом, но для настоящего счёта натуральных чисел n должно быть положительным целым.
Зачем использовать формулу вместо обычного сложения? Формула даёт ответ за один шаг даже при n в миллиарды, тогда как последовательное сложение заняло бы куда больше времени.
