前 n 個自然數總和計算器

輸入計算

項數 (n)

結果

前 n 個自然數的總和

5,050

S = n(n+1)/2

項數 (n)	100
各項平均值	50.5

這個計算器是什麼？

「前 n 個自然數總和計算器」會把從 1 一直加到你指定的數值 n 之間的每一個整數全部加總起來。你不必再一筆一筆敲 1 + 2 + 3 + …，它直接套用著名的封閉式公式 \(S = n(n+1)/2\)，無論 n 有多大，都能瞬間給出答案。

如何使用

輸入項數 n（例如填 100 就是計算 1 到 100 的總和），即可看到結果。計算器同時會顯示總共加了幾項，以及這些項的平均值，而平均值正好等於 \((n+1)/2\)。

公式原理

一個等差數列若首項為 1、末項為 n、共有 n 項，其總和等於「項數 × 首末兩項的平均」：$$S = n \times (1 + n) / 2,$$ 化簡後即為 \(n(n+1)/2\)。這個小技巧——把首項與末項配對、第二項與倒數第二項配對，依此類推——通常被歸功於少年時期的高斯（Carl Friedrich Gauss）。

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把兩個三角形堆疊拼在一起，構成 n×(n+1) 的矩形，所以總和是 n(n+1) 的一半。

範例演算

當 n = 100 時：$$S = 100 \times (100 + 1) / 2 = 100 \times 101 / 2 = 10100 / 2 = 5050.$$ 各項的平均值為 \((100 + 1) / 2 = 50.5\)。

高斯配對法：每一對數相加都等於 n+1，共有 n/2 對。

常見問題

會把 0 算進去嗎？ 不會。這裡的自然數從 1 開始，因此總和涵蓋 1 到 n。

n 可以是小數嗎？ 這個公式對任何數值都成立，但若要真正計算「自然數的個數」，n 應該是正整數。

為什麼要用公式，而不是一個一個加？ 即使 n 高達數十億，公式也只需一步就能算完；若一筆一筆累加，花費的時間會多上許多。