什麼是拱形計算器？
拱形計算器只需兩個簡單的量測值，就能推算出圓弧（弓形拱）的幾何結構：跨度（橫跨開口的水平弦長）與拱高（由弦到拱頂的垂直高度）。由這兩個數值，便能推導出拱所屬圓的半徑、直徑、曲線的長度，以及該弧在圓心所對應的角度。這是一款通用的幾何工具，無論是泥水師傅、木工、家具製作者、舞台佈景搭建者，或任何需要放樣弧形開口或製作模板的人，都能派上用場。
使用方法
以相同單位輸入跨度與拱高（公分、英吋或公尺皆可——計算結果也會以同樣的單位呈現）。按下計算後，主要結果框會顯示半徑；下方表格則列出弧長、直徑與以度數表示的圓心角。若要在現場放樣這條弧線，可在圓心點固定一條長度等於計算半徑的繩子（圓心位於拱頂下方 拱高 − 半徑 處，也就是說圓心有可能落在起拱線之下），再以繩為半徑掃出整道弧。
公式說明
對於弦長 \(s\)（跨度）與拱高 \(h\)，所屬圓的半徑為：
$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$
由圓心到弦的垂直距離為 \(d = R - h\)。弦所對應的半角為 \(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)\)，因此完整的圓心角為 \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(s/2,\, R-h)\)，弧長則為 $$L = R \cdot \theta$$（θ 以弧度計）。採用 atan2 可確保即使弧線超過半圓，計算結果依然正確。
實例演算
一個標準半圓的跨度為 10、拱高為 5。則 \(R = 100/40 + 2.5 = 2.5 + 2.5 = 5\)。此時圓心落在弦上（\(d = R - h = 0\)），所以 \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5,\, 0) = 2 \times 90° = 180°\)。弧長 \(= R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15.708\)。每半段為 7.854。
各種跨度/拱高情境下的拱形幾何
對於圓形（弧形）拱，跨度 \(S\)（穿過開口的水平弦）和拱高 \(H\)（從起點線到拱頂的高度）完全決定了其幾何性質。半徑遵循 \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\)；由此圓心角為 \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\)，弧長為 \(L = R\theta\)（其中 \(\theta\) 以弧度表示）。
下表將跨度固定在 1000 mm，並增加拱高，以便您可以看到較平的拱需要更大的半徑和較小的圓心角，而深拱則趨近於甚至超過半圓。
| 拱形類型 | 跨度 S (mm) | 拱高 H (mm) | 半徑 R (mm) | 直徑 (mm) | 圓心角 θ | 弧長 L (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 淺弧形拱 | 1000 | 150 | 908.3 | 1816.7 | 67.4° | 1068.6 |
| 較平的弧形拱 | 1000 | 250 | 625.0 | 1250.0 | 106.3° | 1159.3 |
| 半圓形拱 | 1000 | 500 | 500.0 | 1000.0 | 180.0° | 1570.8 |
| 馬蹄形拱 | 1000 | 600 | 508.3 | 1016.7 | 241.9° | 2146.4 |
注意，當 \(H = S/2\) 時，拱恰好是半圓形（\(R = S/2\)，\(\theta = 180^\circ\)）。當拱高超過跨度的一半時，曲線通過圓的最寬點，產生向內彎曲的馬蹄形，其圓心角大於 \(180^\circ\)。
關鍵術語和變數
- 跨度 (S)
- 拱開口的水平淨距，從兩個起點之間測量。在圓形幾何中，它是圓弧的弦。
- 拱高 (H)
- 從起點線向上到拱的最高點（拱頂）的垂直高度。比率 \(H/S\) 描述拱有多平或多深。
- 半徑 (R)
- 拱曲線所屬圓的半徑，由 \(R = S^2/(8H) + H/2\) 給出。圓弧由從中心點擺動此半徑繪製。
- 直徑
- 半徑的兩倍，\(d = 2R\)——基礎圓的完整寬度。
- 弦
- 連接圓上兩點的直線。對於弧形拱，跨度是對著圓弧的弦。
- 弧長 (L)
- 沿著彎曲的內表面（或任何同心圓弧）測量的長度，等於 \(L = R\theta\)，其中圓心角 \(\theta\) 以弧度表示。
- 圓心角 (θ)
- 圓心處由圓弧所對的角，\(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\)。半圓為 180°，馬蹄形拱大於 180°。
- 起點線
- 拱開始從其垂直支撐向外彎曲的水平線；跨度沿著此線測量。
- 頂點 / 拱頂
- 拱的最高點，拱高在此測量。拱頂直接位於跨度中點的上方。
- 弧形拱
- 其曲線為小於半圓的圓形弧段的拱（\(H < S/2\)），給出較平的輪廓和大於跨度一半的半徑。
- 半圓形拱
- 恰好是半圓的拱，發生於拱高等於跨度的一半時（\(H = S/2\)），所以 \(R = S/2\) 且 \(\theta = 180^\circ\)。
- 馬蹄形拱
- 繼續超過圓最寬點的拱（\(H > S/2\)），在起點處向內彎曲，使開口小於圓的直徑；其圓心角超過 180°。
常見問題
如果拱高等於跨度的一半會怎樣？此時拱形為標準半圓；半徑等於拱高，圓心角為 180°。
拱高可以大於跨度的一半嗎？可以——此時弧線會超過半圓（形成「馬蹄形」拱），圓心會落在弦的上方；atan2 仍能回傳正確的角度。
該使用哪種單位？任何單位皆可，只要跨度與拱高採用相同單位即可；所有輸出結果都會使用該單位。
