Что такое калькулятор арки?
Калькулятор арки рассчитывает геометрию круговой (сегментной) арки всего по двум измерениям: пролёту (горизонтальная хорда, перекрывающая проём) и стреле подъёма (высота от хорды до верхней точки кривой). На основе этих величин он определяет радиус окружности, частью которой является арка, диаметр, длину криволинейного участка и угол, который дуга образует в центре окружности. Это универсальный геометрический инструмент, полезный каменщикам, плотникам, столярам, декораторам сцены и всем, кто размечает изогнутый проём или шаблон.
Как пользоваться
Введите пролёт и стрелу подъёма в одних и тех же единицах (сантиметрах, дюймах, метрах — результат вернётся в этих же единицах). Нажмите «Рассчитать». В верхнем блоке показывается радиус, а в таблице — длина дуги, диаметр и центральный угол в градусах. Чтобы разметить кривую на месте, закрепите бечёвку длиной, равной рассчитанному радиусу, в центральной точке (она находится на расстоянии стрела − радиус ниже вершины, то есть центр может оказаться ниже линии пят арки) и опишите дугу.
Разбор формулы
Для хорды длиной s (пролёт) и стрелы подъёма h радиус описывающей окружности равен:
$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$
Перпендикулярное расстояние от центра окружности до хорды составляет \(d = R - h\). Половина угла, опираемого на хорду, равна \(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)\), поэтому полный центральный угол \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(s/2,\, R-h)\), а длина дуги $$L = R \cdot \theta$$ (где θ выражено в радианах). Использование atan2 сохраняет точность результата даже тогда, когда дуга превышает полуокружность.
Пример расчёта
Идеальная полуокружность имеет пролёт 10 и стрелу подъёма 5. Тогда $$R = \frac{100}{40} + 2{,}5 = 2{,}5 + 2{,}5 = 5.$$ Центр лежит на хорде (\(d = R - h = 0\)), поэтому $$\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5, 0) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ.$$ Длина дуги $$L = R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15{,}708.$$ Каждая половина равна 7,854.
Частые вопросы
Что, если стрела подъёма равна половине пролёта? Арка становится настоящей полуокружностью: радиус равен стреле подъёма, а угол составляет 180°.
Может ли стрела подъёма быть больше половины пролёта? Да — тогда дуга превышает полуокружность (получается «подковообразная» арка), а центр оказывается выше хорды; atan2 по-прежнему возвращает правильный угол.
Какие единицы измерения использовать? Любые, лишь бы пролёт и стрела подъёма были в одной и той же единице; все результаты выводятся в этой же единице.
Геометрия арок при различных соотношениях пролета и стрелы
Для циркульной (сегментной) арки пролет \(S\) (горизонтальная хорда через проём) и стрела \(H\) (высота от линии пружинирования до замка) полностью определяют её геометрию. Радиус вычисляется по формуле \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\); из этого следует центральный угол \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\) и длина дуги \(L = R\theta\) (где \(\theta\) в радианах).
В таблице ниже пролет зафиксирован на уровне 1000 мм и увеличивается стрела, так что вы можете увидеть, как пологая арка требует гораздо большего радиуса и меньшего центрального угла, а глубокая арка приближается и затем превышает полукруг.
| Тип арки | Пролет S (мм) | Стрела H (мм) | Радиус R (мм) | Диаметр (мм) | Центральный угол θ | Длина дуги L (мм) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Пологая сегментная | 1000 | 150 | 908.3 | 1816.7 | 67.4° | 1068.6 |
| Более пологая сегментная | 1000 | 250 | 625.0 | 1250.0 | 106.3° | 1159.3 |
| Полукруглая | 1000 | 500 | 500.0 | 1000.0 | 180.0° | 1570.8 |
| Подковообразная | 1000 | 600 | 508.3 | 1016.7 | 241.9° | 2146.4 |
Заметьте, что при \(H = S/2\) арка является точно полукруглой (\(R = S/2\), \(\theta = 180^\circ\)). Когда стрела превышает половину пролета, кривая проходит через самую широкую точку окружности, образуя изогнутую внутрь подковообразную форму с центральным углом, превышающим \(180^\circ\).
Основные термины и переменные
- Пролет (S)
- Горизонтальное расстояние в свету через проём арки, измеряемое между двумя точками пружинирования. В геометрии круга это хорда дуги.
- Стрела (H)
- Вертикальная высота от линии пружинирования до высшей точки арки (замка). Отношение \(H/S\) описывает, насколько пологой или крутой является арка.
- Радиус (R)
- Радиус окружности, частью которой является кривая арки, вычисляется по формуле \(R = S^2/(8H) + H/2\). Дуга вычерчивается поворотом этого радиуса вокруг центральной точки.
- Диаметр
- Удвоенный радиус, \(d = 2R\) — полная ширина лежащей в основе окружности.
- Хорда
- Прямая линия, соединяющая две точки на окружности. Для сегментной арки пролет является хордой, стягивающей дугу.
- Длина дуги (L)
- Длина, измеренная вдоль изогнутой внутренней кривой (или любой концентрической дуги), равная \(L = R\theta\) при центральном угле \(\theta\) в радианах.
- Центральный угол (θ)
- Угол, который дуга стягивает в центре окружности, \(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\). Он равен 180° для полукруга и больше 180° для подковообразной арки.
- Линия пружинирования
- Горизонтальный уровень, где арка начинает изгибаться от своих вертикальных опор; пролет измеряется вдоль этой линии.
- Вершина / Замок
- Высшая точка арки, где измеряется стрела. Замок расположен непосредственно над серединой пролета.
- Сегментная арка
- Арка, кривая которой представляет собой сегмент окружности, меньший полукруга (\(H < S/2\)), имеющий более пологий профиль и радиус, больший половины пролета.
- Полукруглая арка
- Арка, которая составляет ровно половину окружности, возникающая при равенстве стрелы половине пролета (\(H = S/2\)), так что \(R = S/2\) и \(\theta = 180^\circ\).
- Подковообразная арка
- Арка, которая продолжается за самую широкую точку окружности (\(H > S/2\)), изгибаясь назад у линии пружинирования таким образом, что проём становится уже диаметра окружности; её центральный угол превышает 180°.
