यह कैलकुलेटर क्या करता है
किसी फलन f(x) का शून्यक (zero या मूल) x का वह मान होता है जहाँ f(x) = 0 हो जाता है — यानी वह बिंदु जहाँ ग्राफ़ x-अक्ष को काटता है। यह टूल मानक रूप f(x) = ax² + bx + c में लिखे द्विघात फलन के शून्यक निकालता है। बस गुणांक a, b और c दर्ज करें, और यह विविक्तकर (discriminant) के साथ वास्तविक या सम्मिश्र मूल लौटा देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों गुणांक टाइप करें। उदाहरण के लिए, f(x) = x² − 3x + 2 के लिए a = 1, b = −3, c = 2 दर्ज करें। अगर a = 0 हो तो समीकरण रैखिक (bx + c = 0) बन जाता है और कैलकुलेटर उसका एकमात्र मूल लौटाता है। विविक्तकर वाली पंक्ति बताती है कि मूल दो भिन्न वास्तविक हैं, एक दोहराया गया वास्तविक मूल है, या एक सम्मिश्र संयुग्मी युग्म है।
सूत्र की व्याख्या
शून्यक द्विघात सूत्र से निकाले जाते हैं:
$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$
वर्गमूल के अंदर की राशि, \(\Delta = \text{b}^{2} - 4\text{a}\text{c}\), को विविक्तकर (discriminant) कहते हैं। जब \(\Delta > 0\) हो तो दो भिन्न वास्तविक शून्यक होते हैं; जब \(\Delta = 0\) हो तो एक दोहराया गया वास्तविक शून्यक होता है; और जब \(\Delta < 0\) हो तो मूल सम्मिश्र होते हैं, जिन्हें \(\text{a} \pm \text{b}i\) के रूप में लिखा जाता है।
हल किया गया उदाहरण
f(x) = x² − 3x + 2 = 0 को हल करें। यहाँ a = 1, b = −3, c = 2 है। विविक्तकर \(= (-3)^{2} - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\) होता है। तो $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2},$$ जिससे \(x_1 = 2\) और \(x_2 = 1\) मिलते हैं। वास्तव में f(x) = (x − 1)(x − 2)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ऋणात्मक विविक्तकर का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि परवलय x-अक्ष को कभी नहीं छूता, इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता — मूल एक सम्मिश्र संयुग्मी युग्म होते हैं।
क्या मैं इसे रैखिक फलन के लिए उपयोग कर सकता हूँ? हाँ। a = 0 रखें और यह bx + c = 0 हल कर देगा, जिससे \(x = -\text{c}/\text{b}\) मिलता है।
कभी-कभी दो के बजाय एक ही मूल क्यों मिलता है? जब विविक्तकर ठीक शून्य होता है, तब दोनों मूल आपस में मिल जाते हैं, इसलिए द्विघात का \(x = -\text{b}/(2\text{a})\) पर एक ही (दोहराया गया) शून्यक होता है।
