関数の零点計算機（2次・1次）

計算を入力してください

結果

f(x) の零点

x₁ = 2, x₂ = 1

異なる2つの実数解

判別式（b² − 4ac）	1

この計算ツールでできること

関数 f(x) の零点（ゼロ点・根）とは、f(x) = 0 となる x の値、つまりグラフが x 軸と交わる点のことです。本ツールは、標準形 f(x) = ax² + bx + c で表される2次関数の零点を求めます。係数 a・b・c を入力すると、実数解または複素数解を判別式とあわせて表示します。

x 軸と2点で交わり、その点が零点として示された放物線 — f(x) の零点は、放物線が x 軸と交わる x の値です。

使い方

3つの係数を入力するだけです。たとえば f(x) = x² − 3x + 2 なら、a = 1、b = −3、c = 2 と入力します。a = 0 のときは式が1次方程式（bx + c = 0）となり、その1つの解を返します。判別式の欄を見れば、解が「異なる2つの実数解」なのか、「重解（1つの実数解）」なのか、それとも「共役な複素数解の組」なのかが分かります。

公式の解説

零点は次の解の公式で求められます。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

平方根の中身 $\Delta = b^{2} - 4ac$ を判別式と呼びます。$\Delta > 0$ のときは異なる2つの実数解、$\Delta = 0$ のときは重解（1つの実数解）、$\Delta < 0$ のときは $a \pm bi$ の形で表される複素数解になります。

2つの実数解、重解、実数解なしを示す3つの放物線 — 判別式によって、実数の零点が2つ、1つ、またはないかが決まります。

計算例

f(x) = x² − 3x + 2 = 0 を解いてみましょう。ここで a = 1、b = −3、c = 2 です。判別式は $(-3)^{2} - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$。よって $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ となり、$x_{1} = 2$、$x_{2} = 1$ が得られます。実際、$f(x) = (x - 1)(x - 2)$ と因数分解できます。