この計算ツールでできること
このツールは、正規分布に従う確率変数 X が 2 つの値 a と b の間に入る確率 ―― \(P(a < X < b)\) と表記します ―― を計算します。入力するのは、分布の平均（\(\mu\)）、標準偏差（\(\sigma\)）、そして 2 つの境界値だけ。各境界値を z スコアへ標準化し、標準正規分布の累積分布関数 \(\Phi\) を使って、ベルカーブ（釣鐘型曲線）の下にある 2 点間の面積を正確に求めます。
使い方
まず分布の平均と標準偏差を入力し、続いて下限値 a と上限値 b を入力します。あとは「計算」ボタンを押すだけ。結果には、確率が小数（0 〜 1）とパーセントの両方で表示され、さらに 2 つの z スコアも併せて示されます。なお、値を逆の順序で入力しても、小さい方を自動的に a、大きい方を b として扱うのでご安心ください。
計算式の解説
a と b の間の確率は、b における CDF（累積分布関数）から a における CDF を引いた値に等しくなります。すなわち
$$P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$$where
$$\left\{ \begin{aligned} z_a &= \dfrac{\text{Lower (a)} - \text{Mean }(\mu)}{\text{SD }(\sigma)} \\[0.4em] z_b &= \dfrac{\text{Upper (b)} - \text{Mean }(\mu)}{\text{SD }(\sigma)} \end{aligned} \right.$$です。\((x-\mu)/\sigma\) という項は、生のスコアを z スコア ―― 平均から標準偏差いくつ分離れているかを表す数値 ―― に変換します。\(\Phi(z)\) は、標準正規曲線において z より左側にある累積面積を返します。2 つの累積面積の差を取ることで、a と b の間だけの面積が残るわけです。本ツールは、高精度な誤差関数の近似式を用いて \(\Phi\) を計算しています。
計算例
IQ スコアが平均 \(\mu = 100\)、標準偏差 \(\sigma = 15\) の正規分布に従うとして、\(P(85 < X < 115)\) を求めてみましょう。z スコアはそれぞれ \((85-100)/15 = -1\) と \((115-100)/15 = +1\) になります。\(\Phi(1) \approx 0.8413\)、\(\Phi(-1) \approx 0.1587\) なので、確率は\[\approx 0.8413 - 0.1587 = 0.6827,\]つまり約 68.3% となります。これはおなじみの「標準偏差 1 つ分のルール（68% ルール）」そのものです。
よくある質問
「<」と「≤」のどちらを使うかで結果は変わりますか？ 変わりません。連続型の正規分布では、ある一点ちょうどになる確率は 0 です。したがって \(P(a < X < b)\) と \(P(a \le X \le b)\) は同じ値になります。
標準偏差が 0 の場合はどうなりますか？ 標準偏差は正の値でなければなりません。\(\sigma = 0\) では分布そのものが定義できないため、本ツールは 0 を返します。
結果の精度はどのくらいですか？ CDF は Abramowitz & Stegun の近似式で計算しており、小数点以下およそ 7 桁まで正確です。一般的な統計の作業には十分すぎる精度です。
