À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la probabilité qu'une variable aléatoire X suivant une loi normale se situe entre deux valeurs, a et b — ce que l'on note \(P(a < X < b)\). Il vous suffit d'indiquer la moyenne de la distribution (\(\mu\)), son écart type (\(\sigma\)) et les deux bornes. Le calculateur convertit chaque borne en cote z (score z), puis applique la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite \(\Phi\) pour renvoyer l'aire exacte sous la courbe en cloche comprise entre ces deux valeurs.
Comment l'utiliser
Saisissez la moyenne et l'écart type de votre distribution, puis entrez la borne inférieure a et la borne supérieure b. Cliquez sur Calculer. Le résultat affiche la probabilité sous forme décimale (de 0 à 1) et en pourcentage, accompagnée des deux cotes z. Si vous inversez les valeurs, le calculateur considère automatiquement la plus petite comme a et la plus grande comme b.
La formule expliquée
La probabilité entre a et b est égale à la valeur de la fonction de répartition en b moins sa valeur en a :
$$P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$Le terme \(\frac{x-\mu}{\sigma}\) transforme une valeur brute en cote z, c'est-à-dire le nombre d'écarts types qui la séparent de la moyenne. \(\Phi(z)\) donne l'aire cumulée à gauche de \(z\) sous la courbe normale centrée réduite. La soustraction des deux aires cumulées laisse l'aire strictement comprise entre a et b. Ce calculateur évalue \(\Phi\) à l'aide d'une approximation très précise de la fonction d'erreur.
Exemple concret
Supposons que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne \(\mu = 100\) et d'écart type \(\sigma = 15\), et que l'on cherche \(P(85 < X < 115)\). Les cotes z valent
$$\frac{85-100}{15} = -1 \quad\text{et}\quad \frac{115-100}{15} = +1$$Comme \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\) et \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\), la probabilité \(\approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827\), soit environ 68,3 % — la fameuse règle de l'écart type unique.
Questions fréquentes
Est-ce que le choix entre < et ≤ change le résultat ? Non. Pour une loi normale continue, la probabilité en un point précis est nulle ; \(P(a < X < b)\) et \(P(a \le X \le b)\) sont donc identiques.
Que se passe-t-il si mon écart type vaut 0 ? Un écart type doit être strictement positif ; avec \(\sigma = 0\), la distribution n'est pas définie, et le calculateur renvoie 0.
Quelle est la précision du résultat ? La fonction de répartition est calculée avec l'approximation d'Abramowitz et Stegun, précise à environ 7 décimales — largement suffisant pour les travaux statistiques courants.
