Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет вероятность того, что нормально распределённая случайная величина X окажется между двумя значениями — a и b. В записи это выглядит как \(P(a < X < b)\). Вы задаёте среднее распределения (\(\mu\)), стандартное отклонение (\(\sigma\)) и две границы. Калькулятор переводит каждую границу в z-оценку и с помощью функции распределения стандартного нормального закона \(\Phi\) возвращает точную площадь под колоколообразной кривой между ними.
Как пользоваться
Укажите среднее и стандартное отклонение вашего распределения, затем введите нижнее значение a и верхнее значение b. Нажмите «Рассчитать». Результат покажет вероятность в виде десятичной дроби (от 0 до 1) и в процентах, а также обе z-оценки. Если вы перепутаете порядок значений, калькулятор автоматически возьмёт меньшее за a, а большее — за b.
Разбор формулы
Вероятность попадания между a и b равна значению функции распределения (CDF) в точке b минус её значение в точке a:
$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$Выражение \(\frac{x-\mu}{\sigma}\) превращает исходное значение в z-оценку — число стандартных отклонений от среднего. \(\Phi(z)\) даёт накопленную площадь слева от z под стандартной нормальной кривой. Вычитая одну накопленную площадь из другой, мы получаем площадь строго между a и b. Этот калькулятор вычисляет \(\Phi\) через высокоточное приближение функции ошибок.
Пример расчёта
Допустим, показатели IQ распределены нормально с \(\mu = 100\) и \(\sigma = 15\), и нужно найти \(P(85 < X < 115)\). z-оценки равны
$$\frac{85-100}{15} = -1 \quad \text{и} \quad \frac{115-100}{15} = +1$$\(\Phi(1) \approx 0{,}8413\) и \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\), поэтому вероятность
$$\approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827,$$то есть около 68,3% — знакомое «правило одного стандартного отклонения».
Частые вопросы
Важно ли, что я использую < или ≤? Нет. Для непрерывного нормального распределения вероятность попадания ровно в одну точку равна нулю, поэтому \(P(a < X < b)\) и \(P(a \le X \le b)\) совпадают.
А если стандартное отклонение равно 0? Стандартное отклонение должно быть положительным; при \(\sigma = 0\) распределение не определено, поэтому калькулятор возвращает 0.
Насколько точен результат? Функция распределения вычисляется по приближению Абрамовица и Стиган с точностью примерно до 7 знаков после запятой — этого с запасом хватает для типичных статистических задач.
