Калькулятор вероятности на интервале нормального распределения (две точки)

Введите расчет

Точка x1

Точка x2

Mean μ

Standard deviation σ

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Outer Region Probability

   

   Probability X falls outside the interval, the complement of the inner probability

2. Density at a Point

   

   Probability density function value of the normal distribution at point x

Результатов

Inner cumulative probability P(x1 ≤ X ≤ x2)

0,682689

68,27% of the area

Outer cumulative probability P(X < x1) + P(X > x2)	0,317311 (31,73%)
Плотность вероятности в точке x1 f(x1)	0,241971
Плотность вероятности в точке x2 f(x2)	0,241971

Что считает этот калькулятор

Инструмент работает с нормальным (гауссовым) распределением N(μ, σ²), которое задаётся средним значением \(\mu\) и стандартным отклонением \(\sigma\). По двум заданным точкам x1 и x2 он возвращает четыре числа: плотность вероятности f(x1) и f(x2) в каждой точке, внутреннюю вероятность \(P(\text{x}_1 \le X \le \text{x}_2)\) (площадь между двумя точками) и внешнюю вероятность в двух «хвостах», равную единице минус внутренняя площадь. Это чисто математический статистический инструмент: он не привязан к каким-либо национальным правилам и работает в любой стране.

Как пользоваться

Введите две точки x1 и x2 (калькулятор сам берёт меньшую из них как нижнюю границу), затем среднее \(\mu\) и стандартное отклонение \(\sigma\). Значения по умолчанию \(\mu=0\) и \(\sigma=1\) задают стандартное нормальное распределение, в котором значения x — это просто z-оценки. Стандартное отклонение должно быть строго больше нуля.

Разбор формулы

Каждая точка переводится в z-оценку: \(z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}\). Плотность вычисляется по формуле $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ Накопленная площадь рассчитывается через функцию распределения стандартного нормального закона \(\Phi(z) = 0.5\left(1 + \operatorname{erf}\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)\); поскольку в Java нет встроенной функции erf, используется приближение Абрамовица и Стиган 7.1.26 (точность около 1e-7). Внутренняя вероятность равна \(\Phi(z_2) - \Phi(z_1)\), а внешняя — единице минус это значение.

Реклама

Внутренняя вероятность — это заштрихованная площадь под колоколообразной кривой между x₁ и x₂.

Пример расчёта

Стандартное нормальное распределение: x1 = −1, x2 = 1, \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\). Плотности $$f(-1) = f(1) = 0.398942 \times e^{-0.5} = 0.241971$$ \(\Phi(1) = 0.841345\) и \(\Phi(-1) = 0.158655\), поэтому внутренняя вероятность равна $$0.841345 - 0.158655 = 0.682690$$ (примерно 68,27% — знакомое правило \(\pm 1\sigma\)), а внешняя — 0.317310 (около 31,73%).

Внешняя вероятность — это суммарная площадь двух хвостов за пределами x₁ и x₂.

Частые вопросы

Что будет, если ввести x1 больше, чем x2? Значения автоматически меняются местами, поэтому внутренняя область — это всегда интервал между меньшим и большим числом.

Что означает \(\mu=0\), \(\sigma=1\)? Это стандартное нормальное распределение, поэтому ваши значения x читаются напрямую как z-оценки.

Почему f(x) иногда превышает 1? Плотность вероятности — это не сама вероятность; при малом \(\sigma\) высота пика может быть больше 1, при этом общая площадь под кривой по-прежнему равна 1.