這個計算器能做什麼
本工具用來計算服從常態分布的隨機變數 X 落在兩個數值 a 與 b 之間的機率，也就是 \(P(a < X < b)\)。你只要輸入分布的平均數（\(\mu\)）、標準差（\(\sigma\)），以及上下兩個邊界值即可。計算器會先把每個邊界值標準化成 z 分數，再透過標準常態累積分布函數 \(\Phi\)，精準算出鐘形曲線在這兩點之間的面積。
使用方法
先填入分布的平均數與標準差，接著輸入較小的數值 a 和較大的數值 b，按下計算即可。結果會以小數（0 到 1）和百分比兩種形式呈現機率，同時列出兩個 z 分數。即使你不小心把大小順序填反，計算器也會自動把較小者當作 a、較大者當作 b。
公式說明
a 與 b 之間的機率，等於 b 點的累積分布函數值減去 a 點的累積分布函數值：
$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$其中 \((x-\mu)/\sigma\) 會把原始分數換算成 z 分數，也就是距離平均數有幾個標準差。\(\Phi(z)\) 代表標準常態曲線中 z 左側的累積面積。把兩個累積面積相減，剩下的正好是 a 與 b 之間的面積。本計算器以高精度的誤差函數近似法計算 \(\Phi\)。
實例演算
假設智商（IQ）分數呈常態分布，\(\mu = 100\)、\(\sigma = 15\)，而你想求 \(P(85 < X < 115)\)。兩個 z 分數分別為 \((85-100)/15 = -1\) 和 \((115-100)/15 = +1\)。由於 \(\Phi(1) \approx 0.8413\)、\(\Phi(-1) \approx 0.1587\)，因此機率 \(\approx 0.8413 - 0.1587 = 0.6827\)，約等於 68.3%——這正是大家熟悉的「一個標準差法則」。
常見問題
用 \(<\) 還是 \(\le\) 有差別嗎？沒有差別。對於連續型常態分布來說，任何單一點的機率都是零，所以 \(P(a < X < b)\) 與 \(P(a \le X \le b)\) 完全相同。
如果標準差是 0 怎麼辦？標準差必須為正值；當 \(\sigma = 0\) 時分布無法定義，因此計算器會回傳 0。
計算結果有多精準？本計算器採用 Abramowitz & Stegun 近似法計算累積分布函數，精度約達小數點後 7 位，對一般統計運算來說綽綽有餘。
