Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, normal dağılım gösteren bir rastgele değişken X'in a ile b değerleri arasında yer alma olasılığını hesaplar; matematiksel olarak \(P(a < X < b)\) şeklinde yazılır. Dağılımın ortalamasını (\(\mu\)), standart sapmasını (\(\sigma\)) ve iki sınır değerini girersiniz. Hesaplayıcı her sınırı bir z-skoruna dönüştürür ve standart normal birikimli dağılım fonksiyonu \(\Phi\)'yi kullanarak çan eğrisinin bu iki değer arasında kalan alanını tam olarak verir.
Nasıl kullanılır?
Önce dağılımınızın ortalamasını ve standart sapmasını girin, ardından alt değer a ile üst değer b'yi yazın. "Hesapla" butonuna basın. Sonuç, olasılığı hem ondalık biçimde (0 ile 1 arasında) hem de yüzde olarak gösterir; ayrıca iki z-skorunu da görürsünüz. Değerleri ters sırayla girerseniz endişelenmeyin: hesaplayıcı küçük olanı otomatik olarak a, büyük olanı b kabul eder.
Formülün açıklaması
a ile b arasındaki olasılık, b noktasındaki CDF değerinden a noktasındaki CDF değerinin çıkarılmasıyla bulunur:
$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$Buradaki \((x-\mu)/\sigma\) ifadesi ham bir değeri z-skoruna çevirir; yani değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler. \(\Phi(z)\) ise standart normal eğride z'nin solunda kalan birikimli alanı verir. İki birikimli alanı birbirinden çıkardığınızda yalnızca a ile b arasında kalan alan geriye kalır. Bu hesaplayıcı \(\Phi\) değerini yüksek doğrulukta bir hata fonksiyonu yaklaşımıyla hesaplar.
Çözümlü örnek
Diyelim ki IQ puanları \(\mu = 100\) ve \(\sigma = 15\) ile normal dağılıyor ve \(P(85 < X < 115)\) olasılığını merak ediyorsunuz. z-skorları
$$\frac{85-100}{15} = -1 \quad \text{ve} \quad \frac{115-100}{15} = +1$$olur. \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\) ve \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\) olduğundan olasılık
$$\approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827$$yani yaklaşık %68,3 çıkar — bu da bildiğimiz "bir standart sapma" kuralıdır.
Sık sorulan sorular
< ile ≤ kullanmak arasında fark var mı? Hayır. Sürekli bir normal dağılımda herhangi bir tek noktanın olasılığı sıfırdır; dolayısıyla \(P(a < X < b)\) ile \(P(a \le X \le b)\) tamamen aynıdır.
Standart sapmam 0 ise ne olur? Standart sapma pozitif olmak zorundadır. \(\sigma = 0\) olduğunda dağılım tanımlı değildir, bu nedenle hesaplayıcı 0 döndürür.
Sonuç ne kadar doğru? CDF, Abramowitz & Stegun yaklaşımıyla hesaplanır ve yaklaşık 7 ondalık basamağa kadar doğrudur — günlük istatistik çalışmaları için fazlasıyla yeterli.
