À quoi sert cette calculatrice
Un zéro (ou racine) d'une fonction f(x) est toute valeur de x pour laquelle f(x) = 0 — autrement dit le point où la courbe coupe l'axe des abscisses. Cet outil détermine les zéros d'une fonction du second degré écrite sous sa forme développée \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Saisissez les coefficients a, b et c : la calculatrice renvoie les racines réelles ou complexes, ainsi que le discriminant.
Comment l'utiliser
Indiquez les trois coefficients. Par exemple, pour \(f(x) = x^2 - 3x + 2\), saisissez a = 1, b = −3, c = 2. Si a = 0, l'équation devient affine (\(bx + c = 0\)) et la calculatrice renvoie son unique racine. La ligne du discriminant vous indique si les racines sont deux réelles distinctes, une racine réelle double, ou une paire de complexes conjugués.
La formule expliquée
Les zéros se calculent grâce à la formule du second degré :
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$
La quantité sous la racine carrée, \(\Delta = b^2 - 4ac\), est le discriminant. Lorsque \(\Delta > 0\), il existe deux zéros réels distincts ; lorsque \(\Delta = 0\), il y a une racine réelle double ; lorsque \(\Delta < 0\), les racines sont complexes et s'écrivent \(a \pm bi\).
Exemple détaillé
Résolvons \(f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0\). Ici a = 1, b = −3, c = 2. Le discriminant vaut $$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1.$$ On obtient donc $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2},$$ soit \(x_1 = 2\) et \(x_2 = 1\). On vérifie bien que \(f(x) = (x - 1)(x - 2)\).
Questions fréquentes
Que signifie un discriminant négatif ? La parabole ne touche jamais l'axe des abscisses : il n'existe donc aucun zéro réel, les racines forment une paire de complexes conjugués.
Puis-je l'utiliser pour une fonction affine ? Oui. Posez a = 0 et la calculatrice résout \(bx + c = 0\) en renvoyant \(x = -c/b\).
Pourquoi obtient-on parfois une seule racine au lieu de deux ? Lorsque le discriminant est exactement nul, les deux racines se confondent : le trinôme possède alors un unique zéro (racine double) en \(x = -b/(2a)\).
