Matris Kondisyon Sayısı Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a₁₁

a₁₂

a₂₁

a₂₂

Sonuç

Kondisyon Sayısı κ₂(A)

2

spektral (2-norm) kondisyon sayısı

En büyük tekil değer σ₁	2
En küçük tekil değer σ₂	1
Determinant det(A)	2

Matris kondisyon sayısı nedir?

Kondisyon sayısı \(\kappa(A)\), Ax = b biçimindeki bir doğrusal denklem sisteminin çözümünün, verilerdeki küçük değişikliklere (hatalara) ne kadar duyarlı olduğunu ölçer. Küçük bir kondisyon sayısı (1'e yakın), matrisin iyi koşullandırılmış ve sayısal olarak kararlı olduğu anlamına gelir; büyük bir kondisyon sayısı ise matrisin kötü koşullandırılmış olduğunu gösterir; yani giriş verisindeki minik hatalar çok büyük çıktı hatalarına yol açabilir. Spektral (yani 2-norm) kondisyon sayısı, en büyük tekil değerin en küçük tekil değere oranına eşittir: \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max} / \sigma_{\min}\).

A 2×2 matrix maps the unit circle to an ellipse whose semi-axes are the singular values σ_max and σ_min.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

2×2 A matrisinizin dört elemanını (\(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\)) girin; araç size 2-norm kondisyon sayısını, iki tekil değeri ve determinantı versin. En küçük tekil değer sıfırsa matris tekildir (singular) ve kondisyon sayısı sonsuzdur.

Formülün açıklaması

Herhangi bir matris için \(\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|\) şeklindedir. 2-norm kullanıldığında \(\|A\| = \sigma_{\max}\) ve \(\|A^{-1}\| = 1/\sigma_{\min}\) olur; bu da \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\) sonucunu verir. Tekil değerler, \(A^T A\) matrisinin özdeğerlerinin karekökleridir. 2×2 bir matris için \(M = A^T A\) oluşturulur, özdeğerleri

$$\lambda = \frac{\operatorname{tr} \pm \sqrt{\operatorname{tr}^2 - 4 \cdot \det}}{2}$$

ile hesaplanır ve \(\sigma = \sqrt{\lambda}\) alınır.

Reklam

κ(A) ranges from 1 (perfectly conditioned) upward; large values indicate an ill-conditioned matrix.

Çözümlü örnek

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) olsun. Bu durumda \(A^T A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) olur ve özdeğerleri 4 ile 1'dir. Tekil değerler \(\sigma_{\max} = 2\) ve \(\sigma_{\min} = 1\) olduğundan

$$\kappa_2(A) = \frac{2}{1} = 2$$

bulunur. Bu matris oldukça iyi koşullandırılmıştır.

Sıkça Sorulan Sorular

"İyi" bir kondisyon sayısı kaçtır? 1'e yakın değerler idealdir. Kabaca bir kural olarak, \(\log_{10}(\kappa)\) sistemi çözerken yaklaşık kaç haneye kadar doğruluk kaybedebileceğinizi gösterir.

Kondisyon sayım neden sonsuz çıkıyor? Matris tekildir (determinantı 0), dolayısıyla \(\sigma_{\min} = 0\) olur ve \(A^{-1}\) ters matrisi mevcut değildir.

Bu araç hangi normu kullanıyor? Tekil değerlere dayanan 2-norm (spektral) kondisyon sayısını kullanır. Diğer normlar (1-norm, ∞-norm) farklı sayısal değerler verebilir.