ما هو رقم حالة المصفوفة؟
يقيس رقم الحالة \(\kappa(A)\) مدى حساسية حلّ نظام خطي على الصورة \(Ax = b\) للتغيّرات (الأخطاء) الصغيرة في البيانات. فكلما كان رقم الحالة صغيرًا (قريبًا من 1) دلّ ذلك على أن المصفوفة جيّدة التكييف ومستقرة عدديًا؛ أما رقم الحالة الكبير فيعني أنها سيّئة التكييف، بحيث تؤدي أخطاء طفيفة في المدخلات إلى أخطاء كبيرة في المخرجات. ويساوي رقم الحالة الطيفي (بمعيار 2) نسبة أكبر قيمة منفردة إلى أصغر قيمة منفردة: \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max} / \sigma_{\min}\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل القيم الأربع للمصفوفة \(A\) ذات البُعد 2×2 (وهي \(a_{11}\) و\(a_{12}\) و\(a_{21}\) و\(a_{22}\))، فتعرض لك الحاسبة رقم الحالة بمعيار 2 إلى جانب القيمتين المنفردتين والمحدّد. وإذا كانت أصغر قيمة منفردة تساوي صفرًا فإن المصفوفة شاذّة (غير قابلة للعكس) ويكون رقم الحالة لا نهائيًا.
شرح الصيغة
بالنسبة إلى أي مصفوفة، يكون \(\kappa(A) = \lVert A \rVert \cdot \lVert A^{-1} \rVert\). وباستخدام معيار 2 يصبح \(\lVert A \rVert = \sigma_{\max}\) و\(\lVert A^{-1} \rVert = 1/\sigma_{\min}\)، ومن ثَمّ \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\). والقيم المنفردة هي الجذور التربيعية للقيم الذاتية للمصفوفة \(A^{T}A\). وفي حالة المصفوفة 2×2 نُكوّن \(M = A^{T}A\)، ثم نحسب قيمها الذاتية، ونأخذ \(\sigma = \sqrt{\lambda}\).
$$\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}}$$
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} M &= A^{T}A,\quad A = \begin{bmatrix} \text{a}_{11} & \text{a}_{12} \\ \text{a}_{21} & \text{a}_{22} \end{bmatrix} \\ \lambda_{\max,\min} &= \frac{\operatorname{tr}(M) \pm \sqrt{\operatorname{tr}(M)^2 - 4\det(M)}}{2} \\ \sigma &= \sqrt{\lambda} \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لِنأخذ \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). عندئذٍ تكون \(A^{T}A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)، وقيمها الذاتية هي 4 و1. ومن ثَمّ تكون القيمتان المنفردتان \(\sigma_{\max} = 2\) و\(\sigma_{\min} = 1\)، أي إن \(\kappa_2(A) = 2/1 = 2\). وهذه المصفوفة جيّدة التكييف إلى حدٍّ كبير.
الأسئلة الشائعة
ما هو رقم الحالة «الجيّد»؟ القيم القريبة من 1 هي المثالية. وكقاعدة تقريبية، يخبرك المقدار \(\log_{10}(\kappa)\) بعدد الأرقام العشرية الموثوقة التي قد تفقدها تقريبًا عند حلّ النظام.
لماذا يظهر رقم الحالة لا نهائيًا؟ لأن المصفوفة شاذّة (محدّدها يساوي 0)، وبالتالي \(\sigma_{\min} = 0\) ولا وجود للمصفوفة العكسية \(A^{-1}\).
ما المعيار المستخدم هنا؟ رقم الحالة بمعيار 2 (الطيفي)، المبني على القيم المنفردة. وقد تعطي المعايير الأخرى (معيار 1 ومعيار \(\infty\)) قيمًا عددية مختلفة.
