Калькулятор числа обусловленности матрицы

Введите расчет

a₁₁

a₁₂

a₂₁

a₂₂

Результатов

Число обусловленности κ₂(A)

2

спектральное число обусловленности (в 2-норме)

Наибольшее сингулярное число σ₁	2
Наименьшее сингулярное число σ₂	1
Определитель det(A)	2

Что такое число обусловленности матрицы?

Число обусловленности \(\kappa(A)\) показывает, насколько чувствительно решение линейной системы \(Ax = b\) к малым изменениям (погрешностям) в исходных данных. Небольшое число обусловленности (близкое к 1) означает, что матрица хорошо обусловлена и численно устойчива; большое число обусловленности говорит о плохой обусловленности — даже крошечные погрешности на входе способны привести к значительным ошибкам в результате. Спектральное число обусловленности (в 2-норме) равно отношению наибольшего сингулярного числа к наименьшему: $$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$$

A 2×2 matrix maps the unit circle to an ellipse whose semi-axes are the singular values σ_max and σ_min.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре элемента матрицы \(A\) размера 2×2 (\(a_{11}\), \(a_{12}\), \(a_{21}\), \(a_{22}\)), и калькулятор выдаст число обусловленности в 2-норме, а также оба сингулярных числа и определитель. Если наименьшее сингулярное число равно нулю, матрица вырождена, и число обусловленности бесконечно.

Разбор формулы

Для любой матрицы \(\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|\). В 2-норме \(\|A\| = \sigma_{\max}\), а \(\|A^{-1}\| = 1/\sigma_{\min}\), поэтому \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\). Сингулярные числа — это квадратные корни из собственных значений матрицы \(A^{T}A\). Для матрицы 2×2 составляем \(M = A^{T}A\), находим её собственные значения $$\lambda = \frac{\operatorname{tr} \pm \sqrt{\operatorname{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$ и берём \(\sigma = \sqrt{\lambda}\).

Реклама

κ(A) ranges from 1 (perfectly conditioned) upward; large values indicate an ill-conditioned matrix.

Разбор на примере

Возьмём \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). Тогда \(A^{T}A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), собственные значения которой равны 4 и 1. Сингулярные числа: \(\sigma_{\max} = 2\) и \(\sigma_{\min} = 1\), откуда $$\kappa_2(A) = \frac{2}{1} = 2$$ Такая матрица очень хорошо обусловлена.

Частые вопросы

Какое число обусловленности считается «хорошим»? Идеальны значения, близкие к 1. Грубое правило: \(\log_{10}(\kappa)\) примерно показывает, сколько верных значащих цифр вы можете потерять при решении системы.

Почему моё число обусловленности бесконечно? Матрица вырождена (определитель равен 0), поэтому \(\sigma_{\min} = 0\) и обратной матрицы \(A^{-1}\) не существует.

Какая норма здесь используется? Спектральное число обусловленности в 2-норме, основанное на сингулярных числах. Другие нормы (1-норма, ∞-норма) могут давать иные численные значения.