¿Qué es el número de condición de una matriz?
El número de condición \(\kappa(A)\) mide hasta qué punto la solución de un sistema lineal \(Ax = b\) es sensible a pequeños cambios (errores) en los datos. Un número de condición bajo (cercano a 1) indica que la matriz está bien condicionada y es numéricamente estable; un número de condición alto significa que está mal condicionada, de modo que errores diminutos en la entrada pueden generar errores enormes en la salida. El número de condición espectral, o en norma 2, es igual al cociente entre el mayor valor singular y el menor valor singular: \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max} / \sigma_{\min}\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce las cuatro entradas de tu matriz 2×2 A (\(a_{11}\), \(a_{12}\), \(a_{21}\), \(a_{22}\)) y la calculadora te devuelve el número de condición en norma 2 junto con los dos valores singulares y el determinante. Si el menor valor singular es cero, la matriz es singular y el número de condición es infinito.
La fórmula explicada
Para cualquier matriz, \(\kappa(A) = \lVert A \rVert \cdot \lVert A^{-1} \rVert\). Usando la norma 2, \(\lVert A \rVert = \sigma_{\max}\) y \(\lVert A^{-1} \rVert = 1/\sigma_{\min}\), lo que da \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\). Los valores singulares son las raíces cuadradas de los autovalores de \(A^{T}A\). Para una matriz 2×2 formamos \(M = A^{T}A\), calculamos sus autovalores \(\lambda = (\operatorname{tr} \pm \sqrt{\operatorname{tr}^2 - 4\cdot\det})/2\) y tomamos \(\sigma = \sqrt{\lambda}\).
$$\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} M &= A^{T}A,\quad A = \begin{bmatrix} \text{a}_{11} & \text{a}_{12} \\ \text{a}_{21} & \text{a}_{22} \end{bmatrix} \\ \lambda_{\max,\min} &= \frac{\operatorname{tr}(M) \pm \sqrt{\operatorname{tr}(M)^2 - 4\det(M)}}{2} \\ \sigma &= \sqrt{\lambda} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). Entonces \(A^{T}A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), cuyos autovalores son 4 y 1. Los valores singulares son \(\sigma_{\max} = 2\) y \(\sigma_{\min} = 1\), por lo que $$\kappa_2(A) = \frac{2}{1} = 2.$$ Esta matriz está muy bien condicionada.
Preguntas frecuentes
¿Qué se considera un número de condición «bueno»? Los valores próximos a 1 son los ideales. Como regla aproximada, \(\log_{10}(\kappa)\) indica más o menos cuántos dígitos de precisión puedes llegar a perder al resolver el sistema.
¿Por qué mi número de condición es infinito? La matriz es singular (determinante 0), de modo que \(\sigma_{\min} = 0\) y \(A^{-1}\) no existe.
¿Qué norma utiliza? El número de condición en norma 2 (espectral), basado en los valores singulares. Otras normas (norma 1, norma ∞) pueden dar valores numéricos distintos.
