什么是矩阵条件数？
条件数 \(\kappa(A)\) 用来衡量线性方程组 \(Ax = b\) 的解对数据中微小变化（误差）的敏感程度。条件数越小（接近 1），说明矩阵越「良态」，数值计算越稳定；条件数越大，则矩阵「病态」，此时输入端的微小误差就可能被放大成输出端的巨大偏差。谱范数（即 2-范数）条件数等于最大奇异值与最小奇异值之比：\(\kappa_2(A) = \sigma_{\max} / \sigma_{\min}\)。
如何使用本计算器
输入 2×2 矩阵 \(A\) 的四个元素（\(a_{11}\)、\(a_{12}\)、\(a_{21}\)、\(a_{22}\)），计算器会返回 2-范数条件数，并同时给出两个奇异值和行列式。如果最小奇异值为 0，则该矩阵是奇异矩阵，条件数为无穷大。
公式详解
对任意矩阵，都有 \(\kappa(A) = \lVert A \rVert \cdot \lVert A^{-1} \rVert\)。采用 2-范数时，\(\lVert A \rVert = \sigma_{\max}\)，\(\lVert A^{-1} \rVert = 1/\sigma_{\min}\)，于是 \(\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\)。奇异值是矩阵 \(A^{T}A\) 特征值的平方根。对 2×2 矩阵，先构造 \(M = A^{T}A\)，再求其特征值 $$\lambda = \frac{\operatorname{tr} \pm \sqrt{\operatorname{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$ 最后取 \(\sigma = \sqrt{\lambda}\)。
计算实例
设 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。则 $$A^{T}A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 其特征值为 4 和 1。对应的奇异值为 \(\sigma_{\max} = 2\)、\(\sigma_{\min} = 1\)，因此 $$\kappa_2(A) = \frac{2}{1} = 2$$ 这是一个非常良态的矩阵。
常见问题
条件数多大才算「好」？越接近 1 越理想。有个经验法则：\(\log_{10}(\kappa)\) 大致表示求解方程组时可能损失的有效数字位数。
为什么我算出的条件数是无穷大？说明该矩阵是奇异矩阵（行列式为 0），此时 \(\sigma_{\min} = 0\)，逆矩阵 \(A^{-1}\) 不存在。
本工具用的是哪种范数？采用基于奇异值的 2-范数（谱范数）条件数。其他范数（1-范数、∞-范数）算出的数值可能不同。
