ما هي حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟
تحسب هذه الأداة قيمتين أساسيتين لأي زوج من الأعداد الصحيحة: القاسم المشترك الأكبر (GCF) — ويُعرف أيضًا بالقاسم المشترك الأعظم (GCD) — والمضاعف المشترك الأصغر (LCM). القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقبل القسمة على كلا العددين دون باقٍ، بينما المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد يقبل القسمة عليه كلا العددين بالتمام. تتكرر هاتان القيمتان باستمرار عند تبسيط الكسور، وإيجاد المقامات المشتركة، وحل مسائل نظرية الأعداد.
كيفية الاستخدام
أدخل العددين الصحيحين في خانتي العدد الأول والعدد الثاني ثم اضغط على زر الحساب. تعرض الحاسبة القاسم المشترك الأكبر في الصندوق الرئيسي، بالإضافة إلى المضاعف المشترك الأصغر وحاصل ضرب العددين في الجدول أدناه. تُحسب القيمتان فورًا باستخدام خوارزمية إقليدس، وهي سريعة حتى مع الأعداد الكبيرة جدًا.
شرح المعادلة
يُحسب القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس: نستبدل الزوج (a، b) بالزوج (b، a mod b) بشكل متكرر حتى تصل القيمة الثانية إلى الصفر؛ والقيمة المتبقية هي القاسم المشترك الأكبر. وبمجرد معرفة القاسم المشترك الأكبر، نحصل على المضاعف المشترك الأصغر من علاقة بسيطة وأنيقة:
$$\text{LCM}\left(\text{a},\ \text{b}\right) = \frac{\text{a} \times \text{b}}{\text{GCF}\left(\text{a},\ \text{b}\right)}$$وتصح هذه العلاقة لأن حاصل ضرب عددين يساوي دائمًا حاصل ضرب القاسم المشترك الأكبر في المضاعف المشترك الأصغر.
مثال محلول
لنأخذ \(a = 12\) و \(b = 18\). باستخدام خوارزمية إقليدس: \(18 \bmod 12 = 6\)، ثم \(12 \bmod 6 = 0\)، إذن القاسم المشترك الأكبر = 6. ومنه يكون المضاعف المشترك الأصغر:
$$\text{LCM} = \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$$أي أن \(\text{GCF}(12,\ 18) = 6\) و \(\text{LCM}(12,\ 18) = 36\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين GCF و GCD؟ لا فرق بينهما — فمصطلحا «القاسم المشترك الأكبر» و«القاسم المشترك الأعظم» يحملان المعنى ذاته ويُستخدمان بالتبادل.
هل يمكنني إدخال أعداد عشرية؟ القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر معرّفان للأعداد الصحيحة فقط. تُقرّب الأعداد العشرية إلى أقرب عدد صحيح أصغر قبل الحساب.
ماذا لو كان أحد العددين صفرًا؟ رياضيًا، يكون القاسم المشترك الأكبر لأي عدد مع الصفر هو ذلك العدد نفسه، لكن المضاعف المشترك الأصغر يصبح غير معرّف؛ لذا استخدم أعدادًا صحيحة موجبة للحصول على نتائج ذات معنى.
