このツールでできること
この計算ツールは、任意の2つの整数について基本となる2つの値を求めます。1つは最大公約数（GCD、英語ではGCF＝Greatest Common Factor）、もう1つは最小公倍数（LCM）です。最大公約数とは、2つの数のどちらも割り切れる最も大きい数のこと。最小公倍数とは、その2つの数のどちらでも割り切れる最も小さい数のことです。これらは分数の約分や通分、整数論の問題を解くときに頻繁に登場します。
使い方
「1つ目の数値」と「2つ目の数値」の欄に整数を入力して計算ボタンを押すだけです。最大公約数がメインの結果ボックスに表示され、その下の表に最小公倍数と2つの数の積も合わせて表示されます。いずれもユークリッドの互除法で計算するため、非常に大きな数でも一瞬で答えが出ます。
計算の仕組み
最大公約数はユークリッドの互除法で求めます。組（a, b）を（b, a mod b）に置き換える操作を、2つ目の値が0になるまで繰り返し、残った値が最大公約数です。最大公約数がわかれば、最小公倍数は次のシンプルな関係式で求まります。
$$\text{LCM}\left(\text{a},\ \text{b}\right) = \frac{\text{a} \times \text{b}}{\text{GCF}\left(\text{a},\ \text{b}\right)}$$
これは、2つの数の積が、その最大公約数と最小公倍数の積に必ず等しくなるという性質を利用しています。
計算例
\(a = 12\)、\(b = 18\) で考えてみましょう。ユークリッドの互除法では、\(18 \bmod 12 = 6\)、続いて \(12 \bmod 6 = 0\) となるので、最大公約数は 6 です。最小公倍数は $$(12 \times 18) \div 6 = 216 \div 6 = 36$$ となります。つまり \(\text{GCF}(12, 18) = 6\)、\(\text{LCM}(12, 18) = 36\) です。
よくある質問
GCFとGCDの違いは？ 同じものを指します。英語の「greatest common factor（最大公約因数）」と「greatest common divisor（最大公約数）」はどちらも同じ意味で使われ、日本語ではどちらも「最大公約数」と呼びます。
小数を入力できますか？ 最大公約数と最小公倍数は整数に対して定義される概念です。小数は計算前に切り捨てて整数として扱います。
片方が0のときは？ 数学的には、ある数と0の最大公約数はその数自身になりますが、最小公倍数は定義されません。意味のある結果を得るには正の整数を入力してください。
