最大公因數與最小公倍數計算機

輸入計算

第一個數字（a）

第二個數字（b）

結果

最大公因數（GCF）

6

of 12 and 18

最小公倍數（LCM）	36
最大公因數（GCF）	6
乘積（a × b）	216

這個計算機是做什麼的？

本計算機能針對任意兩個整數，求出兩個重要的數值：最大公因數（GCF）——在台灣也常稱為「最大公約數（GCD）」——以及最小公倍數（LCM）。最大公因數是能同時整除兩個輸入數字的最大整數；最小公倍數則是能被兩個輸入數字同時整除的最小整數。無論是分數約分、通分，還是解決各種數論問題，這兩個數值都經常派上用場。

使用方法

在「第一個數字」與「第二個數字」欄位中分別輸入兩個整數，然後送出。計算機會在上方主要結果框顯示最大公因數（GCF），並在下方表格列出最小公倍數（LCM）與兩數的乘積。兩個結果都採用輾轉相除法即時計算，即使面對很大的數字也能瞬間完成。

公式說明

最大公因數是以輾轉相除法（歐幾里得演算法）求得：將數對 \((a,\ b)\) 不斷替換成 \((b,\ a \bmod b)\)，直到第二個數變成 \(0\)；此時剩下的數值就是最大公因數。求出 GCF 之後，最小公倍數便可由以下這條漂亮的恆等式得出：

$$\text{LCM}\left(\text{a},\ \text{b}\right) = \frac{\text{a} \times \text{b}}{\text{GCF}\left(\text{a},\ \text{b}\right)}$$

這之所以成立，是因為兩數的乘積永遠等於它們的最大公因數與最小公倍數的乘積。

GCF is the product of shared prime factors; LCM covers all factors of both numbers.

實際範例

假設 \(a = 12\)、\(b = 18\)。套用輾轉相除法：\(18 \bmod 12 = 6\)，接著 \(12 \bmod 6 = 0\)，因此最大公因數 \(\text{GCF} = 6\)。最小公倍數則為 $$\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$$。所以 \(\text{GCF}(12,\ 18) = 6\)，\(\text{LCM}(12,\ 18) = 36\)。

Euclid's algorithm finds the GCF by repeated division until the remainder is zero.

常見問題

GCF 和 GCD 有什麼不同？兩者其實是同一回事——「最大公因數（GCF）」和「最大公約數（GCD）」只是不同說法，意思完全相同。

可以輸入小數嗎？最大公因數與最小公倍數只對整數有定義。輸入小數時，系統會先無條件捨去成整數再進行計算。

如果其中一個數字是 0 怎麼辦？在數學上，任何數與 \(0\) 的最大公因數就是該數本身，但最小公倍數則沒有定義。建議使用正整數，才能得到有意義的結果。