最大公约数与最小公倍数计算器

输入计算

第一个数（a）

第二个数（b）

结果

最大公约数（GCF）

6

of 12 and 18

最小公倍数（LCM）	36
最大公约数（GCF）	6
乘积（a × b）	216

什么是最大公约数与最小公倍数计算器？

这个计算器能针对任意两个整数，快速求出两个核心数值：最大公约数（GCF，又称最大公因数 GCD）和最小公倍数（LCM）。最大公约数是能同时整除两个数的最大整数；最小公倍数则是能被这两个数同时整除的最小整数。在约分化简分数、通分求公分母以及解决各类数论问题时，这两个概念都会频繁出现。

如何使用

在第一个数和第二个数两栏中分别输入你的整数，然后点击提交。计算器会在顶部结果框中显示最大公约数，并在下方表格中给出最小公倍数以及两数的乘积。两个结果均采用欧几里得算法即时算出，即使数字非常大也能秒出答案。

计算公式详解

最大公约数通过欧几里得算法（辗转相除法）求得：反复用 \((b,\ a \bmod b)\) 替换数对 \((a,\ b)\)，直到第二个值变为 0，此时剩下的那个值就是最大公约数。求出最大公约数后，最小公倍数可由一个简洁的恒等式直接推出：

$$\text{LCM}\left(\text{a},\ \text{b}\right) = \frac{\text{a} \times \text{b}}{\text{GCF}\left(\text{a},\ \text{b}\right)}$$

之所以成立，是因为两个数的乘积永远等于它们最大公约数与最小公倍数的乘积。

GCF is the product of shared prime factors; LCM covers all factors of both numbers.

实例演示

设 \(a = 12\)，\(b = 18\)。运用欧几里得算法：\(18 \bmod 12 = 6\)，接着 \(12 \bmod 6 = 0\)，因此最大公约数 = 6。最小公倍数则为 $$\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$$ 所以 \(\text{GCF}(12,\ 18) = 6\)，\(\text{LCM}(12,\ 18) = 36\)。

Euclid's algorithm finds the GCF by repeated division until the remainder is zero.

常见问题

GCF 和 GCD 有什么区别？两者其实是一回事——"最大公因数（greatest common factor）"和"最大公约数（greatest common divisor）"是可以互换的说法，中文里通常都译作"最大公约数"。

可以输入小数吗？最大公约数和最小公倍数只针对整数定义。输入小数时会先向下取整为整数，再进行计算。

如果其中一个数是 0 会怎样？在数学上，任何数与 0 的最大公约数就是这个数本身，但此时最小公倍数没有定义。建议使用正整数，才能得到有意义的结果。