Калькулятор НОК (наименьшее общее кратное)

Введите расчет

Найдите НОК (введите два или более чисел) Разделяйте числа пробелами или запятыми (например, 12 15 75). Не ставьте запятую внутри одного числа.

Показать шаги решения способом: Без шагов (только ответ) Перебор кратных Разложение на простые множители Метод «торта» / «лесенки» Метод деления Метод через НОД Диаграмма Венна

Результатов

НОК

300

Least Common Multiple of 12 15 75

Введённые числа	12 15 75
Количество значений	3
НОК	300

Что такое наименьшее общее кратное?

Наименьшее общее кратное (НОК) набора чисел — это наименьшее положительное целое число, которое делится без остатка на каждое из чисел набора. При сложении и вычитании дробей НОК знаменателей выступает в роли наименьшего общего знаменателя (НОЗ). НОК — чисто математическая величина, поэтому одни и те же правила работают везде и не зависят от единиц измерения.

НОК — это наименьшее число, встречающееся в обоих списках кратных.

Как пользоваться калькулятором

Введите в поле два или более целых числа через пробел или запятую, например 12 15 75. Не используйте запятую как разделитель разрядов внутри одного числа (пишите 2500, а не 2,500). Если хотите увидеть, как получен ответ, выберите способ решения в выпадающем списке «Показать шаги», а затем посмотрите НОК в синем блоке с результатом. Выбор способа меняет только пояснение, но никогда не влияет на сам числовой ответ.

Разбор формулы

Калькулятор считает попарно, опираясь на связь между наибольшим общим делителем (НОД) и НОК: \(\text{НОК}(a, b) = a / \text{НОД}(a, b) \times b\). Сам НОД находится алгоритмом Евклида: бо́льшее число многократно заменяется остатком от деления, пока остаток не станет равен нулю. Для трёх и более чисел расчёт «сворачивается» по списку: \(\text{НОК}(a, b, c) = \text{НОК}(\text{НОК}(a, b), c)\). Деление на НОД до умножения удерживает промежуточные значения небольшими и предотвращает переполнение.

$$\text{НОК}(a,b) = \frac{|a \times b|}{\text{НОД}(a,b)}$$

Реклама

НОК равен произведению чисел, делённому на их наибольший общий делитель.

Разобранный пример

Найдём \(\text{НОК}(12, 15, 75)\). Сначала \(\text{НОД}(12, 15) = 3\), поэтому $$\text{НОК}(12, 15) = 12 / 3 \times 15 = 60.$$ Далее \(\text{НОД}(60, 75) = 15\), поэтому $$\text{НОК}(60, 75) = 60 / 15 \times 75 = 300.$$ Значит, \(\text{НОК}(12, 15, 75) = 300\). Проверим разложением на простые множители: \(12 = 2^2 \times 3\), \(15 = 3 \times 5\), \(75 = 3 \times 5^2\). Беря наивысшую степень каждого простого, получаем $$2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300.$$

Частые вопросы

Работает ли он с десятичными дробями? Да. Каждое число умножается на подходящую степень десяти, пока все не станут целыми, затем вычисляется НОК для целых чисел, а результат масштабируется обратно. Например, \(\text{НОК}(1{,}5, 2) = 6\).

Что будет, если ввести 0? Ноль является кратным любого целого числа, поэтому НОК с участием 0 по соглашению равен 0.

Сколько чисел можно ввести? Нужно как минимум два; верхнего предела нет — ограничение только в том, что помещается в одну строку.