Что такое общее кратное?
Общее кратное двух натуральных чисел — это число, которое без остатка делится на каждое из них. Например, 12 — это общее кратное чисел 4 и 6, потому что \(4 \times 3 = 12\) и \(6 \times 2 = 12\). Поскольку у любого числа бесконечно много кратных, у двух чисел тоже бесконечно много общих кратных — но все они подчиняются простому правилу, в основе которого лежит одно ключевое значение: наименьшее общее кратное (НОК).
Как пользоваться калькулятором
Введите два числа, укажите, сколько общих кратных вы хотите увидеть, — и калькулятор покажет НОК, наибольший общий делитель (НОД), а также упорядоченный список первых общих кратных. Так как каждое общее кратное само является кратным НОК, список строится очень просто: НОК, \(2 \times \text{НОК}\), \(3 \times \text{НОК}\) и так далее.
Разбор формулы
Самый быстрый путь к общим кратным лежит через НОК. А НОК находится из НОД по формуле: $$\text{НОК}(a,\, b) = \frac{a \times b}{\text{НОД}(a,\, b)}$$ Сам НОД вычисляется с помощью алгоритма Евклида: большее число последовательно заменяется остатком от деления его на меньшее. Как только НОК найден, любое общее кратное равно \(k \times \text{НОК}\), где \(k = 1, 2, 3, \ldots\)
Пример решения
Возьмём \(a = 4\) и \(b = 6\). Их НОД равен 2, поэтому $$\text{НОК} = \frac{4 \times 6}{2} = \frac{24}{2} = 12.$$ Значит, первые пять общих кратных — это 12, 24, 36, 48 и 60, и каждое из них делится и на 4, и на 6.
Частые вопросы
Существует ли наибольшее общее кратное? Нет. Поскольку НОК можно умножать сколько угодно раз, общие кратные продолжаются бесконечно. Существует только наименьшее из них — это и есть НОК.
Что, если оба числа одинаковы? Тогда НОК равен самому этому числу, а общие кратные — это просто обычные кратные данного числа.
Что, если одно из чисел равно 1? В этом случае любое кратное второго числа будет общим кратным, ведь на 1 делится всё.
