공차란 무엇인가요?
등차수열에서는 앞 항에 일정한 수를 더해 다음 항을 만듭니다. 이때 더해지는 그 일정한 수를 공차라고 하며, 보통 \(d\)로 표기합니다. 예를 들어 수열 3, 7, 11, 15, …에서는 모든 항이 바로 앞 항보다 4씩 크므로 공차는 4입니다. 이 계산기는 알고 있는 두 항만으로 공차 \(d\)를 찾아 줍니다.
계산기 사용법
첫째항 \(a_1\), 나중 항 \(a_n\)의 값, 그리고 그 나중 항의 위치 \(n\)을 입력하세요(둘째 항이면 n = 2, 셋째 항이면 n = 3 식입니다). 계산기는 두 항 사이의 차이를 그 사이의 단계 수로 나누어 공차를 구하고, 수열의 다음 항까지 함께 알려 줍니다.
공식 풀이
첫째항과 \(n\)번째 항 사이에는 정확히 \(n - 1\)개의 동일한 단계가 있습니다. 따라서 전체 변화량 \(a_n - a_1\)을 이 단계 수로 고르게 나누면 다음과 같습니다.
$$d = \frac{\text{나중 항 } a_n - \text{첫째항 } a_1}{\text{위치 } n - 1}$$이미 이웃한 두 항을 알고 있다면 공식은 더 간단해져 \(d = a_{n+1} - a_n\) 가 됩니다.
예제로 살펴보기
\(a_1 = 3\)이고 여섯째 항이 23이라고 합시다. 즉 \(a_n = 23\), \(n = 6\)입니다. 두 항 사이에는 \(n - 1 = 5\)개의 단계가 있습니다. 그러면 다음과 같습니다.
$$d = \frac{23 - 3}{5} = \frac{20}{5} = 4$$23 다음 항은 \(23 + 4 = 27\)이므로 수열 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27이 맞다는 것을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
공차가 음수일 수도 있나요? 네, 가능합니다. \(d\)가 음수이면 수열이 점점 작아진다는 뜻입니다. 예를 들어 20, 17, 14, …는 \(d = -3\)입니다.
공차가 분수로 나오면 어떻게 하나요? 괜찮습니다. 등차수열은 분수나 소수를 포함한 어떤 실수만큼도 증가하거나 감소할 수 있습니다.
어떤 수열이 등차수열인지 어떻게 알 수 있나요? 이웃한 모든 두 항의 차이가 같은지 확인하면 됩니다. 그 차이가 일정하다면 등차수열이며, 그 일정한 값이 바로 공차입니다.
