सार्व अंतर क्या होता है?
समांतर श्रेणी (Arithmetic Sequence) में हर पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर बनता है। इसी निश्चित संख्या को सार्व अंतर कहते हैं, जिसे d से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, श्रेणी 3, 7, 11, 15, … में सार्व अंतर 4 है, क्योंकि हर पद अपने पिछले पद से 4 अधिक है। यह कैलकुलेटर श्रेणी के किन्हीं दो ज्ञात पदों से \(d\) निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहला पद a₁, बाद के किसी पद का मान aₙ, और उस बाद वाले पद की स्थिति n दर्ज करें (यानी दूसरे पद के लिए n = 2, तीसरे पद के लिए n = 3, और इसी तरह आगे)। कैलकुलेटर दोनों पदों के बीच के अंतर को उनके बीच के चरणों की संख्या से भाग देकर सार्व अंतर निकालता है, साथ ही श्रेणी का अगला पद भी बता देता है।
सूत्र को समझें
पहले पद और स्थिति n वाले पद के बीच ठीक n − 1 बराबर चरण होते हैं। इसलिए कुल बदलाव aₙ − a₁ को इन चरणों में समान रूप से बाँटने पर मिलता है:
$$d = \frac{\text{बाद का पद } a_n - \text{पहला पद } a_1}{\text{स्थिति } n - 1}$$
जब आपको पहले से ही दो लगातार पद पता हों, तो यह सूत्र सरल होकर \(d = a_{n+1} - a_n\) हो जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a_1 = 3\) है और 6वाँ पद 23 है, यानी \(a_n = 23\) और \(n = 6\)। इनके बीच \(n - 1 = 5\) चरण हैं। तब $$d = \frac{23 - 3}{5} = \frac{20}{5} = 4$$ 23 के बाद का अगला पद होगा \(23 + 4 = 27\), जो श्रेणी 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 की पुष्टि करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या सार्व अंतर ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक d का मतलब है कि श्रेणी घटती जाती है, जैसे 20, 17, 14, … जहाँ \(d = -3\) है।
अगर d भिन्न (फ्रैक्शन) के रूप में आए तो? कोई बात नहीं — समांतर श्रेणी किसी भी वास्तविक संख्या के हिसाब से बढ़ या घट सकती है, चाहे वह भिन्न हो या दशमलव।
कैसे पता करें कि कोई श्रेणी समांतर है? देखें कि क्या हर दो लगातार पदों के बीच का अंतर एक समान है। अगर यह स्थिर रहता है, तो श्रेणी समांतर है और वही स्थिर संख्या सार्व अंतर है।
