HCF और LCM कैलकुलेटर (महत्तम समापवर्तक व लघुत्तम समापवर्त्य)

गणना दर्ज करें

पूर्णांक (कॉमा या स्पेस से अलग करें) दो या अधिक धनात्मक पूर्णांक डालें, जैसे 12, 18, 24

परिणाम

महत्तम समापवर्तक (HCF)

6

इसे GCF / GCD भी कहते हैं

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

72

सबसे छोटा सामान्य गुणज

डाली गई संख्याएँ	3
विधि	यूक्लिड एल्गोरिथम

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल दो या अधिक पूर्णांकों की किसी भी सूची के लिए संख्या-सिद्धांत की दो अहम राशियाँ निकालता है: महत्तम समापवर्तक (HCF) — जिसे अंग्रेज़ी में Greatest Common Divisor (GCD) या Greatest Common Factor (GCF) भी कहते हैं — और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)। HCF वह सबसे बड़ी धनात्मक संख्या है जो दी गई हर संख्या को पूरी तरह विभाजित कर देती है। LCM वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे दी गई हर संख्या बिना शेष छोड़े विभाजित कर देती है। ये दोनों भिन्नों को सरल बनाने, सामान्य हर ढूँढने, समय-सारणी बनाने, गियर अनुपात और क्रिप्टोग्राफी जैसी अनेक जगहों पर काम आते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

कॉमा या स्पेस से अलग करके दो या अधिक धनात्मक पूर्णांक टाइप करें, जैसे 12, 18, 24, और सबमिट करें। ऋणात्मक संख्याओं को उनके निरपेक्ष मान में बदल दिया जाता है, और दशमलव को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित कर दिया जाता है। कैलकुलेटर एक साथ HCF और LCM दोनों लौटाता है। यदि कोई मान शून्य है, तो LCM 0 दिखाया जाता है, क्योंकि शून्य का अन्य संख्याओं के साथ कोई सामान्य धनात्मक गुणज नहीं होता।

सूत्र की व्याख्या

दो संख्याओं के लिए HCF यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करता है: जोड़ी (a, b) को बार-बार (b, a mod b) से बदलते रहें जब तक दूसरा मान 0 न हो जाए; तब बचा हुआ पहला मान ही HCF होता है। इसके बाद LCM को (a / hcf) × b के रूप में निकाला जाता है — यह क्रम ओवरफ़्लो रोकने के लिए चुना गया है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए परिणाम जोड़ी-दर-जोड़ी बनाया जाता है: चल रहे उत्तर को अगली संख्या के साथ जोड़ें, फिर अगली के साथ, और इसी तरह आगे।

$$\gcd(a_1,\dots,a_k), \qquad \operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_k) = \frac{|a_i \cdot a_j|}{\gcd(a_i,a_j)}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_1,\dots,a_k &= \text{Integers (abs. values)} \\ \gcd &= \text{computed via the Euclidean algorithm} \end{aligned} \right.$$

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साझा अभाज्य गुणनखंड महत्तम समापवर्तक (GCD) बनाते हैं; सभी गुणनखंड मिलकर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) बनाते हैं।

यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म जोड़े को बार-बार बदलता है जब तक शेषफल शून्य न हो जाए।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें 12, 18, 24। पहले \(\gcd(12, 18) = 6\), फिर \(\gcd(6, 24) = 6\), इसलिए HCF = 6 है। अब LCM के लिए: $$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36$$ फिर $$\operatorname{lcm}(36, 24) = \frac{36 \times 24}{12} = 72$$ इसलिए LCM = 72 है। जाँच करें: \(72 \div 12 = 6\), \(72 \div 18 = 4\), \(72 \div 24 = 3\), और 6 तीनों इनपुट को विभाजित कर देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या GCD ही GCF या HCF है? हाँ — Greatest Common Divisor, Greatest Common Factor और महत्तम समापवर्तक (HCF) एक ही संख्या के तीन नाम हैं।

अगर दो संख्याओं में कोई सामान्य गुणनखंड न हो तो? यदि HCF 1 है तो वे संख्याएँ सहअभाज्य (coprime) होती हैं, और उनका LCM केवल उन संख्याओं का गुणनफल होता है।

क्या मैं दो से अधिक संख्याएँ डाल सकता हूँ? हाँ। जितने चाहें उतने पूर्णांक डालें; HCF और LCM पूरी सूची पर मिलाकर निकाले जाते हैं।