Ce que fait ce solveur
Le solveur d'équations polynomiales de degré n calcule toutes les racines — réelles et complexes — d'une équation polynomiale \(\text{a}_0\,x^{n} + \text{a}_1\,x^{n-1} + \cdots + \text{a}_{n-1}\,x + \text{a}_n = 0\) à coefficients réels. Il s'appuie sur la méthode de Durand-Kerner (aussi appelée méthode de Weierstrass, fondement de la famille DKA / Durand-Kerner-Aberth), un schéma itératif simultané qui affine d'un seul coup chaque estimation de racine. C'est un outil mathématique universel, sans cadre national ni unité particulière.
Convention sur les coefficients
Cet outil indexe les coefficients du terme dominant en premier : a0 multiplie xn (le coefficient dominant, qui doit être non nul) et an est le terme constant. C'est l'inverse de la convention des manuels « a_k multiplie x^k » ; saisissez donc vos coefficients en conséquence. Les coefficients dont l'indice dépasse n sont ignorés.
Mode d'emploi
Choisissez le degré n (de 1 à 16), saisissez les coefficients a0 à an (laissez à 0 ceux qui ne servent pas), indiquez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis validez. Les racines réelles apparaissent avec une partie imaginaire nulle ; les racines complexes d'un polynôme réel se présentent par paires conjuguées (re + i·im et re − i·im).
La formule
Après division de chaque coefficient par a0 pour obtenir un polynôme unitaire \(p(x)=x^{n}+b_1\,x^{n-1}+\cdots+b_n\), chaque estimation est mise à jour par
$$z_i \leftarrow z_i - \frac{p(z_i)}{\displaystyle\prod_{j \ne i}\left(z_i - z_j\right)}$$En partant de points distincts répartis sur un cercle, les estimations convergent simultanément vers les n racines.
Exemple détaillé
Pour \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\), saisissez n=3, a0=1, a1=−6, a2=11, a3=−6. Le polynôme se factorise en \((x-1)(x-2)(x-3)\), et l'itération converge vers les racines 1, 2 et 3 (toutes réelles).
FAQ
Pourquoi a0 doit-il être non nul ? Si le coefficient dominant est nul, l'équation n'est pas réellement de degré n ; l'outil considère a0=0 comme invalide.
Pourquoi les racines complexes vont-elles par paires ? Un polynôme à coefficients réels possède toujours ses racines complexes par paires conjuguées : vous verrez donc des valeurs +i·im et −i·im correspondantes.
Les racines multiples sont-elles prises en charge ? Oui, mais les racines multiples (répétées) convergent plus lentement ; le solveur autorise donc de nombreuses itérations et une tolérance plus large, et les minuscules résidus imaginaires sont ramenés à zéro.
