ماذا يفعل هذا الحلّال؟
يعثر حلّال معادلات كثيرات الحدود من الدرجة n على جميع الجذور — الحقيقية والعقدية — لأي معادلة على الصورة \(\text{a}_0\,x^{n} + \text{a}_1\,x^{n-1} + \cdots + \text{a}_{n-1}\,x + \text{a}_n = 0\) ذات معاملات حقيقية. يعتمد على طريقة دوراند-كيرنر (المعروفة أيضًا بطريقة فايرشتراس، وهي أساس عائلة DKA / دوراند-كيرنر-أبيرث)، وهي خوارزمية تكرارية متزامنة تُحسّن تقدير كل الجذور دفعة واحدة. إنها أداة رياضية عامة لا ترتبط ببلد معيّن ولا تستخدم أي وحدات قياس.
اصطلاح ترتيب المعاملات
ترتّب هذه الأداة المعاملات بدءًا من المعامل الرئيسي: فـ \(\text{a}_0\) هو معامل \(x^{n}\) (المعامل الرئيسي، ويجب ألّا يساوي صفرًا)، بينما \(\text{a}_n\) هو الحدّ الثابت. لاحظ أن هذا الترتيب معكوس مقارنةً بالاصطلاح الدراسي الشائع الذي ينص على أن "\(\text{a}_k\) معامل \(x^k\)"، لذا أدخل معاملاتك وفق هذا الترتيب. أي معامل برتبة أكبر من \(n\) يُهمل.
طريقة الاستخدام
اختر الدرجة \(n\) (من 1 إلى 16)، ثم أدخل المعاملات من \(\text{a}_0\) حتى \(\text{a}_n\) (واترك غير المستخدَمة عند القيمة 0)، وحدّد عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها، ثم اضغط للحساب. تظهر الجذور الحقيقية بجزء تخيّلي يساوي صفرًا، أما الجذور العقدية لكثير الحدود الحقيقي فتظهر في أزواج مترافقة (\(\text{re} + i\cdot\text{im}\) و \(\text{re} - i\cdot\text{im}\)).
الصيغة الرياضية
بعد قسمة كل المعاملات على \(\text{a}_0\) للحصول على كثير حدود أحادي \(p(x)=x^{n}+\text{b}_1\,x^{n-1}+\cdots+\text{b}_n\)، يُحدَّث كل تقدير وفق العلاقة
$$z_i \leftarrow z_i - \frac{p(z_i)}{\displaystyle\prod_{j \ne i}\left(z_i - z_j\right)}$$وبالانطلاق من نقاط متباينة موزّعة على محيط دائرة، تتقارب التقديرات في آنٍ واحد نحو الجذور الـ \(n\).
مثال محلول
للمعادلة \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) أدخل \(n=3\)، و \(\text{a}_0=1\)، و \(\text{a}_1=-6\)، و \(\text{a}_2=11\)، و \(\text{a}_3=-6\). يتحلّل كثير الحدود إلى \((x-1)(x-2)(x-3)\)، وتتقارب عملية التكرار نحو الجذور 1 و 2 و 3 (وكلها حقيقية).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب ألّا يساوي \(\text{a}_0\) صفرًا؟ إذا كان المعامل الرئيسي صفرًا فالمعادلة ليست فعليًا من الدرجة \(n\)؛ لذا تعتبر الأداة القيمة \(\text{a}_0=0\) غير صالحة.
لماذا تأتي الجذور العقدية في أزواج؟ أي كثير حدود ذي معاملات حقيقية تكون جذوره العقدية دائمًا في أزواج مترافقة، لذا ستظهر القيم المتطابقة \(+i\cdot\text{im}\) و \(-i\cdot\text{im}\) معًا.
هل تُعالَج الجذور المتكررة؟ نعم، لكن الجذور المتعددة (المتكررة) تتقارب ببطء أكبر، لذا يتيح الحلّال عددًا كبيرًا من التكرارات وحدّ تسامح أوسع؛ كما تُقرَّب البقايا التخيّلية الضئيلة إلى الصفر.
