ما هو عزم القصور الذاتي القطبي؟
عزم القصور الذاتي القطبي (J)، ويُعرف أيضًا بالعزم القطبي الثاني للمساحة، هو مقياس لمقاومة المقطع العرضي للالتواء (اللي). وفي الأعمدة الدائرية يظهر مباشرةً في معادلة الالتواء \(\tau = T\cdot r / J\)، حيث T هو عزم الالتواء المطبَّق وr هو المسافة الشعاعية من المركز. وكلما زادت قيمة J قلّ التواء العمود تحت العزم نفسه. تعمل هذه الحاسبة مع القضبان الدائرية المصمتة والأنابيب الدائرية المجوّفة على حدٍّ سواء.
كيف تستخدم هذه الحاسبة
حدّد أولًا ما إذا كان مقطعك العرضي دائرة مصمتة أم دائرة مجوّفة (أنبوب). أدخل القطر الخارجي D. وفي حالة المقطع المجوّف، أدخل كذلك القطر الداخلي (تجويف) d. تظهر النتيجة J بوحدة الطول مرفوعةً للأس الرابع — فإذا أدخلت الأقطار بالمليمتر تكون J بوحدة mm⁴، وإذا أدخلتها بالبوصة تكون بوحدة in⁴. كما تعرض الحاسبة معامل المقطع القطبي \(Z_{p} = J/(D/2)\)، وهو مفيد في حساب إجهاد القص الأقصى على السطح وفق العلاقة \(\tau = T/Z_{p}\).
شرح المعادلة
بالنسبة لدائرة مصمتة قطرها D:
$$J = \frac{\pi}{32}\left(\text{D}^{4}\right)$$أما الدائرة المجوّفة فتطرح منها مساهمة التجويف:
$$J = \frac{\pi}{32}\left(\text{D}^{4} - \text{d}^{4}\right)$$ولأن القطر مرفوع للأس الرابع، فإن زيادة القطر تؤثر تأثيرًا هائلًا في صلابة الالتواء، بينما تكاد المادة القريبة من المركز لا تسهم بشيء يُذكر — وهذا تحديدًا ما يجعل الأعمدة المجوّفة استثمارًا فعّالًا للمادة.
مثال محلول
لدينا عمود مجوّف \(D = 50\ \text{mm}\) وd = 30 mm. إذن
$$J = \frac{\pi}{32}\left(50^{4} - 30^{4}\right) = \frac{\pi(6{,}250{,}000 - 810{,}000)}{32} = \frac{\pi \times 5{,}440{,}000}{32} = \pi \times 170{,}000 \approx 534{,}070.75\ \text{mm}^{4}$$ويكون معامل المقطع \(Z_{p} = J/(25) \approx 21{,}362.83\ \text{mm}^{3}\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين J وعزم القصور الذاتي للمساحة I؟ بالنسبة للدائرة، \(J = 2I\) لأن \(J = I_{x} + I_{y}\) مع تساوي \(I_{x} = I_{y}\). فالقيمة J تحكم الالتواء، بينما تحكم I الانحناء.
هل يمكنني استخدام نصف القطر بدلًا من القطر؟ تتوقع هذه الأداة إدخال الأقطار. فإذا كان لديك نصف القطر فاضربه في 2 أولًا، أو تذكّر أن \(J = \pi r^{4}/2\) للدائرة المصمتة.
ما الوحدة التي تظهر بها J؟ هي وحدة الطول التي تدخلها مرفوعةً للأس الرابع — فاحرص على إبقاء الأقطار بوحدات متسقة (كلها بالمليمتر أو كلها بالبوصة).
