什麼是極慣性矩？
極慣性矩（J）又稱為截面的二次極矩，用來衡量一個截面抵抗扭轉（扭轉變形）的能力。在圓軸上，它會直接出現在扭轉公式 \(\tau = T\cdot r / J\) 之中，其中 T 是施加的扭矩，r 是距離圓心的徑向距離。J 越大，代表在相同扭矩下圓軸扭轉得越少。本計算器適用於實心圓棒與空心圓管。
如何使用本計算器
先選擇你的截面是實心圓還是空心圓（圓管）。輸入外徑 D；若為空心截面，還需輸入內徑（孔徑）d。計算結果 J 的單位為長度的四次方——也就是說，若直徑以毫米輸入，J 的單位為 mm⁴；若以英吋輸入，則為 in⁴。本計算器同時提供極截面模數 \(Z_p = J/(D/2)\)，可用來計算表面最大剪應力 \(\tau = T/Z_p\)。
公式說明
對於直徑為 D 的實心圓：$$J = \frac{\pi}{32}\left(\text{D}^{4}\right)$$對於空心圓，則扣除孔徑的貢獻：$$J = \frac{\pi}{32}\left(\text{D}^{4} - \text{d}^{4}\right)$$由於直徑被提升到四次方，直徑稍微增加就會對扭轉剛度產生極大的影響；而靠近圓心的材料貢獻非常小——這也正是空心軸能更有效率運用材料的原因。
計算範例
假設一根空心軸的 D = 50 mm、d = 30 mm。$$J = \frac{\pi(50^{4} - 30^{4})}{32} = \frac{\pi(6{,}250{,}000 - 810{,}000)}{32} = \frac{\pi \times 5{,}440{,}000}{32} = \pi \times 170{,}000 \approx 534{,}070.75 \text{ mm}^4$$截面模數 \(Z_p = J/(25) \approx 21{,}362.83 \text{ mm}^3\)。
常見問題
J 與面積慣性矩 I 有什麼不同？對於圓形而言，\(J = 2I\)，因為 \(J = I_x + I_y\)，且 \(I_x = I_y\)。J 主導扭轉，I 主導彎曲。
我可以用半徑代替直徑嗎？本工具預設輸入的是直徑。若你手上是半徑，請先乘以 2；或注意實心圓也可用 \(J = \frac{\pi r^{4}}{2}\) 計算。
J 的單位是什麼？就是你輸入的長度單位的四次方——請務必讓直徑使用一致的單位（全部用 mm 或全部用英吋）。
