Что такое калькулятор числа сочетаний?
Этот инструмент подсчитывает, сколько различных групп из r элементов можно выбрать из множества в n элементов, когда порядок не важен. Число сочетаний обозначается \(C(n, r)\) и читается как «число сочетаний из n по r». Оно встречается повсюду: от расчёта шансов в лотерее и комбинаций карт до выбора состава комиссии и задач по теории вероятностей.
Как пользоваться калькулятором
Введите общее количество доступных элементов (n) и сколько из них вы хотите выбрать (r). Калькулятор покажет \(C(n, r)\) — число неупорядоченных выборок, а для сравнения выведет \(P(n, r)\) — число упорядоченных размещений. Если r больше n, результат равен 0: нельзя выбрать больше элементов, чем есть в наличии.
Разбор формулы
Формула числа сочетаний выглядит так: $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$ Здесь \(n!\) («n факториал») — это произведение всех целых чисел от 1 до n. Деление на \(r!\) убирает повторяющиеся варианты порядка (в сочетаниях порядок не учитывается), а деление на \((n - r)!\) учитывает оставшиеся неиспользованными элементы. Для размещений применяется формула $$P(n, r) = \frac{n!}{\left(n - r\right)!}$$ которая сохраняет порядок и потому даёт большее число вариантов: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\).
Пример расчёта
Сколько команд по 2 человека можно составить из 5 человек? $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = \textbf{10}$$ Получается 10 возможных пар. Для сравнения: \(P(5, 2) = \frac{5!}{3!} = 20\), потому что здесь порядок имел бы значение (например, сначала капитан, затем его заместитель).
Частые вопросы
В чём разница между сочетаниями и размещениями? В сочетаниях порядок не важен (\(\{A, B\} = \{B, A\}\)), а в размещениях порядок учитывается (\(\{A, B\} \neq \{B, A\}\)).
Чему равно \(C(n, 0)\)? Всегда 1 — есть ровно один способ не выбрать ничего.
Может ли r быть равно n? Да. \(C(n, n) = 1\) — это единственный способ взять всё множество целиком.
