Máy Tính Tổ Hợp Là Gì?
Công cụ này đếm số nhóm khác nhau gồm r phần tử mà bạn có thể chọn ra từ một tập hợp gồm n phần tử khi thứ tự không quan trọng. Số tổ hợp được ký hiệu là \(C(n, r)\), đọc là "n chọn r", và xuất hiện ở khắp mọi nơi — từ tính xác suất trúng số, các bộ bài, cho đến việc lập ban đại diện hay giải các bài toán xác suất.
Cách Sử Dụng
Nhập tổng số phần tử có sẵn (n) và số phần tử bạn muốn chọn (r). Máy tính sẽ trả về \(C(n, r)\) — số cách chọn không tính đến thứ tự — đồng thời hiển thị \(P(n, r)\) — số cách sắp xếp có tính thứ tự — để bạn dễ so sánh. Nếu r lớn hơn n thì kết quả là 0, vì bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử thực có.
Giải Thích Công Thức
Công thức tổ hợp là $$C(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ Ở đây \(n!\) (đọc là "n giai thừa") là tích của tất cả các số nguyên từ 1 đến n. Việc chia cho \(r!\) giúp loại bỏ những cách sắp xếp trùng lặp (vì tổ hợp không quan tâm đến thứ tự), còn chia cho \((n - r)!\) là để tính đến những phần tử không được chọn. Chỉnh hợp lại dùng công thức $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ có giữ lại thứ tự nên cho ra nhiều cách hơn: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\).
Ví Dụ Minh Họa
Có bao nhiêu cách lập một đội 2 người từ 5 người? $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\,\cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$$ Vậy có 10 cặp khác nhau. Ngược lại, \(P(5, 2) = \frac{5!}{3!} = 20\), vì khi đó thứ tự lại có ý nghĩa (ví dụ: ai làm đội trưởng, ai làm đội phó).
Câu Hỏi Thường Gặp
Tổ hợp và chỉnh hợp khác nhau ở điểm nào? Tổ hợp không quan tâm đến thứ tự (\(\{A, B\} = \{B, A\}\)); còn chỉnh hợp thì có (\(\{A, B\} \neq \{B, A\}\)).
\(C(n, 0)\) bằng bao nhiêu? Luôn bằng 1 — chỉ có đúng một cách để không chọn gì cả.
r có thể bằng n không? Có. \(C(n, n) = 1\), tức là chỉ có một cách duy nhất là lấy hết toàn bộ tập hợp.
