Qu'est-ce que le calculateur de combinaisons possibles ?
Cet outil détermine combien de groupes distincts de r éléments vous pouvez former à partir d'un ensemble de n éléments lorsque l'ordre n'a pas d'importance. Ce nombre de combinaisons se note \(C(n, r)\), que l'on lit « combinaison de r parmi n ». On le retrouve partout : probabilités de gain à la loterie, mains de cartes, composition d'un comité ou exercices de probabilités.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre total d'éléments disponibles (n) ainsi que le nombre d'éléments que vous souhaitez choisir (r). Le calculateur affiche \(C(n, r)\), c'est-à-dire le nombre de sélections sans tenir compte de l'ordre, mais aussi \(P(n, r)\), le nombre d'arrangements où l'ordre compte, à titre de comparaison. Si r est supérieur à n, le résultat vaut 0 : on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
La formule des combinaisons est $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}.$$ Ici, \(n!\) (la « factorielle de n ») désigne le produit de tous les entiers de 1 à n. La division par \(r!\) élimine les ordres en double (les combinaisons ignorent l'ordre), tandis que la division par \((n - r)!\) tient compte des éléments laissés de côté. Les arrangements, eux, utilisent $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!},$$ qui conserve l'ordre et comptabilise donc davantage de possibilités : \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\).
Exemple concret
Combien d'équipes de 2 personnes peut-on former à partir de 5 personnes ? $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$ Il existe donc 10 paires possibles. En revanche, \(P(5, 2) = \frac{5!}{3!} = 20\), car ici l'ordre compterait (par exemple, capitaine puis adjoint).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre combinaisons et arrangements ? Les combinaisons ignorent l'ordre (\(\{A, B\} = \{B, A\}\)) ; les arrangements (permutations) tiennent compte de l'ordre (\(\{A, B\} \neq \{B, A\}\)).
Que vaut \(C(n, 0)\) ? Toujours 1 — il n'existe qu'une seule façon de ne rien choisir.
Est-ce que r peut être égal à n ? Oui. \(C(n, n) = 1\), soit l'unique façon de prendre l'ensemble tout entier.
